基礎問題集

数学3 積分法「定積分・面積」の問題220 解説

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数学3積分法定積分・面積問題220

解説

各項の大きさを $n$ で評価する。分母は常に $n^4$ 以上なので、各項は $O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ であり、$n$ 項足しても $O\left(\frac{1}{n}\right)$ にしかならない。したがって極限は $0$ になる。

求める極限を

$$ S_n=\sum_{k=1}^n \frac{e n^2}{(k^2+n^2)^2}

とおく。

$1\leqq k\leqq n$ であるから、$k^2\geqq 0$ より

$$ k^2+n^2 \geqq n^2

である。したがって

$$ (k^2+n^2)^2 \geqq n^4

となるので、各項について

$$ 0 \leqq \frac{e n^2}{(k^2+n^2)^2} \leqq \frac{e n^2}{n^4}=\frac{e}{n^2}

が成り立つ。

よって和全体は

$$ 0 \leqq S_n \leqq \sum_{k=1}^n \frac{e}{n^2} = \frac{en}{n^2} = \frac{e}{n}

を満たす。

ここで $n\to\infty$ とすると

$$ \frac{e}{n}\to 0

であるから、はさみうちの原理により

$$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n \frac{e n^2}{(k^2+n^2)^2}=0

となる。

この問題はリーマン和に直すこともできるが、そこまでしなくても各項を単純に評価すれば十分である。

実際、

$$ \frac{e n^2}{(k^2+n^2)^2}

は分母が $n^4$ 程度、分子が $n^2$ 程度なので、各項は $\frac{1}{n^2}$ 程度である。これを $n$ 個足しても全体では $\frac{1}{n}$ 程度にしかならず、極限は $0$ になる。

$$ 0