基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題221 解説
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解説
方針・初手
$x\log(1+x)$ は、$\log(1+x)$ を微分すると $\dfrac{1}{1+x}$ になって簡単になるので、部分積分を用いるのが自然である。
ただし、実数の範囲では $\log(1+x)$ が定義されるのは $x>-1$ のときである。
解法1
求める積分を
$$ I=\int x\log(1+x),dx
$$
とおく。
ここで
$$ u=\log(1+x),\qquad dv=x,dx
$$
とすると、
$$ du=\frac{1}{1+x},dx,\qquad v=\frac{x^2}{2}
$$
であるから、部分積分により
$$ I=\frac{x^2}{2}\log(1+x)-\frac12\int \frac{x^2}{1+x},dx
$$
となる。
そこで、$\dfrac{x^2}{1+x}$ を整式と分数式に分ける。
$$ x^2=(x+1)(x-1)+1
$$
より、
$$ \frac{x^2}{1+x}=x-1+\frac{1}{1+x}
$$
である。したがって、
$$ I=\frac{x^2}{2}\log(1+x)-\frac12\int \left(x-1+\frac{1}{1+x}\right)dx
$$
となる。
これを積分すると、
$$ \begin{aligned} I &=\frac{x^2}{2}\log(1+x)-\frac12\left(\frac{x^2}{2}-x+\log(1+x)\right) \\ &=\frac{x^2}{2}\log(1+x)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}-\frac12\log(1+x) \end{aligned}
$$
よって整理して
$$ I=\frac{x^2-1}{2}\log(1+x)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2}
$$
を得る。
解説
この問題の要点は、$\log(1+x)$ をそのまま積分しようとせず、部分積分で対処することである。
部分積分後に現れる
$$ \frac{x^2}{1+x}
$$
をそのままにせず、
$$ \frac{x^2}{1+x}=x-1+\frac{1}{1+x}
$$
と分解できるかが計算の分かれ目である。ここまで進めば、あとは基本的な積分だけで処理できる。
答え
$$ \begin{aligned} \int x\log(1+x),dx &= \frac{x^2-1}{2}\log(1+x)-\frac{x^2}{4}+\frac{x}{2} \end{aligned} $$