解説

方針・初手

まず

$$ \frac{1}{x^3(1-x)}

$$

を部分分数分解する。

この分解ができれば、（2） は項別積分で直ちに求まる。さらに （3） では、（1） の結果から一般の (p) に対して

$$ \frac{1}{x^p(1-x)}

$$

の分解の形を見抜き、それを直接確かめればよい。

解法1

（1） 部分分数分解を

$$ \frac{1}{x^3(1-x)}=\frac{\alpha_1}{x}+\frac{\alpha_2}{x^2}+\frac{\alpha_3}{x^3}+\frac{b}{1-x}

$$

とおく。

両辺に (x^3(1-x)) を掛けると

$$ 1=\alpha_1x^2(1-x)+\alpha_2x(1-x)+\alpha_3(1-x)+bx^3

$$

である。右辺を整理すると

$$ \begin{aligned} 1 &=\alpha_1x^2-\alpha_1x^3+\alpha_2x-\alpha_2x^2+\alpha_3-\alpha_3x+bx^3 \\ &=\alpha_3+(\alpha_2-\alpha_3)x+(\alpha_1-\alpha_2)x^2+(-\alpha_1+b)x^3 \end{aligned}

$$

となる。

左辺は定数 (1) であるから、係数比較により

$$ \alpha_3=1,\quad \alpha_2-\alpha_3=0,\quad \alpha_1-\alpha_2=0,\quad -\alpha_1+b=0

$$

を得る。よって

$$ \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=b=1

$$

である。

したがって

$$ \frac{1}{x^3(1-x)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{1-x}

$$

となる。

（2） （1） の結果を用いて項別に積分する。

$$ \int f(x),dx =\int\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}+\frac{1}{1-x}\right),dx

$$

各項を積分すると

$$ \int \frac{1}{x},dx=\log|x|,\qquad \int \frac{1}{x^2},dx=-\frac{1}{x},

$$

$$ \int \frac{1}{x^3},dx=-\frac{1}{2x^2},\qquad \int \frac{1}{1-x},dx=-\log|1-x|

$$

であるから、

$$ \int f(x),dx =\log|x|-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\log|1-x|+C

$$

となる。すなわち

$$ \int f(x),dx =\log\left|\frac{x}{1-x}\right|-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+C

$$

である。

（3） 一般に

$$ \frac{1}{x^p(1-x)}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\cdots+\frac{1}{x^p}

$$

が成り立つことを示す。

実際、右辺に (x^p(1-x)) を掛けると

$$ x^p+(1-x)(x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1)

$$

となる。ここで

$$ x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1=\frac{x^p-1}{x-1}

$$

であるから、

$$ (1-x)(x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1)=1-x^p

$$

となり、全体は

$$ x^p+(1-x^p)=1

$$

となる。よって上の分解は正しい。

したがって

$$ \int \frac{dx}{x^p(1-x)} =\int\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\cdots+\frac{1}{x^p}\right)dx

$$

であり、

$$ \int \frac{dx}{x^p(1-x)} =-\log|1-x|+\log|x|+\sum_{k=2}^{p}\int x^{-k},dx

$$

となる。ここで

$$ \int x^{-k},dx=-\frac{1}{(k-1)x^{k-1}}\qquad (k\geqq 2)

$$

であるから、

$$ \int \frac{dx}{x^p(1-x)} =\log|x|-\log|1-x|-\sum_{k=2}^{p}\frac{1}{(k-1)x^{k-1}}+C

$$

すなわち、添字を (j=k-1) と書き換えて

$$ \int \frac{dx}{x^p(1-x)} =\log\left|\frac{x}{1-x}\right|-\sum_{j=1}^{p-1}\frac{1}{j,x^j}+C

$$

となる。

なお、(p=1) のときは和が空和となり、

$$ \int \frac{dx}{x(1-x)}=\log\left|\frac{x}{1-x}\right|+C

$$

となって、この式に含まれている。

解説

この問題の要点は、(x=0) に重複極があるので

$$ \frac{1}{x},\ \frac{1}{x^2},\ \frac{1}{x^3}

$$

の形がすべて現れることである。一方、(1-x) は一次式なので

$$ \frac{1}{1-x}

$$

が現れる。

また、一般の (p) では

$$ \frac{1}{x^p(1-x)}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\cdots+\frac{1}{x^p}

$$

という規則性を見抜けるかが重要である。積分すると、一次の分母からは対数が出て、高次の (x^{-k}) からは有理式が出る。この対応を整理しておくと計算が速い。

答え

**(1)**

$$ \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=b=1

$$

**(2)**

$$ \int f(x),dx =\log\left|\frac{x}{1-x}\right|-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+C

$$

**(3)**

$$ \int \frac{dx}{x^p(1-x)} =\log\left|\frac{x}{1-x}\right|-\sum_{j=1}^{p-1}\frac{1}{j,x^j}+C \qquad (p=1,2,3,\dots)

$$