解説

方針・初手

交点では

$$ \sin 2x=p\sin x

$$

が成り立つ。区間 $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $\sin x\geqq 0$ なので、原点以外の交点については $\sin x\neq 0$ として割ることができる。

また、曲線 $C_1$ と $x$ 軸で囲まれた領域は $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ における $y=\sin 2x$ の下側の領域である。$C_2$ がこの領域を二等分する条件は、$C_1$ と $C_2$ で囲まれる部分の面積が全体の半分になることである。

解法1

交点の条件は

$$ \sin 2x=p\sin x

$$

である。$\sin 2x=2\sin x\cos x$ より、

$$ 2\sin x\cos x=p\sin x

$$

となる。

原点以外の交点の $x$ 座標を $\alpha$ とするので、$\alpha\neq 0$ であり、したがって $\sin\alpha\neq 0$ である。よって両辺を $\sin\alpha$ で割ると、

$$ 2\cos\alpha=p

$$

を得る。したがって

$$ \cos\alpha=\frac{p}{2}

$$

である。

さらに、原点とは異なる交点をもつには

$$ 0<\alpha<\frac{\pi}{2}

$$

でなければならない。このとき

$$ 0<\cos\alpha<1

$$

より、

$$ 0<\frac{p}{2}<1

$$

である。よって

$$ 0<p<2

$$

である。

次に、$C_1$ と $C_2$ で囲まれた領域の面積 $S$ を求める。

$0<x<\alpha$ では $\cos x>\cos\alpha=\dfrac p2$ であるから、

$$ 2\cos x-p>0

$$

となり、

$$ \begin{aligned} \sin 2x-p\sin x &= \sin x(2\cos x-p)>0 \end{aligned} $$

である。よって、この範囲では $C_1$ が $C_2$ より上にある。

したがって

$$ S=\int_0^\alpha \left(\sin 2x-p\sin x\right),dx

$$

である。これを計算すると、

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^\alpha \sin 2x,dx-p\int_0^\alpha \sin x,dx \\ &=\left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_0^\alpha -p\left[-\cos x\right]_0^\alpha \\ &=\frac{1}{2}\left(1-\cos 2\alpha\right)-p(1-\cos\alpha). \end{aligned}

$$

ここで $\cos\alpha=\dfrac p2$ より、

$$ \begin{aligned} \cos 2\alpha &= 2\cos^2\alpha-1 \\ 2\left(\frac p2\right)^2-1 \\ \frac{p^2}{2}-1 \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} S &=\frac{1}{2}\left(1-\left(\frac{p^2}{2}-1\right)\right) -p\left(1-\frac p2\right) \\ &=\frac{1}{2}\left(2-\frac{p^2}{2}\right)-p+\frac{p^2}{2} \\ &=1-\frac{p^2}{4}-p+\frac{p^2}{2} \\ &=1-p+\frac{p^2}{4}. \end{aligned}

$$

よって

$$ S=\frac{(2-p)^2}{4}

$$

である。

最後に、$C_2$ が $C_1$ と $x$ 軸で囲まれた領域の面積を二等分する条件を考える。

まず、$C_1$ と $x$ 軸で囲まれた領域の面積は

$$ \begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin 2x,dx &= \left[-\frac{1}{2}\cos 2x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ 1 \end{aligned} $$

である。

$C_2$ は、原点から $C_1$ との交点までの部分で、この領域の内部を通る。したがって、二等分の条件は

$$ S=\frac{1}{2}

$$

である。

よって

$$ \frac{(2-p)^2}{4}=\frac{1}{2}

$$

となる。これを解くと、

$$ (2-p)^2=2

$$

である。

ここで $0<p<2$ より $2-p>0$ だから、

$$ 2-p=\sqrt{2}

$$

である。したがって

$$ p=2-\sqrt{2}

$$

を得る。

解説

交点の条件では、$\sin x$ で割ってよいかどうかが重要である。原点以外の交点を考えているため、$\alpha\neq 0$ であり、$\sin\alpha\neq 0$ となる。ここを明確にしておく必要がある。

また、$C_1$ と $C_2$ で囲まれる面積は、必ず $0$ から $\alpha$ までの積分で求める。$\alpha$ より右側では $C_2$ は $C_1$ より上に出るため、$C_1$ と $x$ 軸で囲まれた領域の外側にある。

二等分条件では、全体の面積が $1$ であることを先に確認し、$C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分の面積が $\dfrac12$ になると考えるのが自然である。

答え

**(1)**

$$ \cos\alpha=\frac p2

$$

また、$p$ の範囲は

$$ 0<p<2

$$

である。

**(2)**

$$ \begin{aligned} S=1-p+\frac{p^2}{4} &= \frac{(2-p)^2}{4} \end{aligned} $$

である。

**(3)**

$$ p=2-\sqrt{2}

$$