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数学3 積分法「定積分・面積」の問題224 解説

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数学3積分法定積分・面積問題224

解説

分母に $\sin\omega,\cos\omega$ が同時に現れているので，指示通り $t=\tan \dfrac{\omega}{2}$ とおき，三角関数を有理式に直す。すると被積分関数全体が $t$ の有理式になり，そのまま積分できる。

$$ t=\tan \frac{\omega}{2}

とおくと，半角の公式より

$$ \sin\omega=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos\omega=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad d\omega=\frac{2}{1+t^2},dt

である。

また，積分区間は

$$ \omega=0\ \Rightarrow\ t=0,\qquad \omega=\frac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ t=\tan\frac{\pi}{4}=1

となる。

したがって，求める積分を $I$ とすると

$$ I=\int_0^{\pi/2}\frac{1}{1+\sin\omega+\cos\omega},d\omega =\int_0^1 \frac{1}{1+\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2},dt

ここで分母を整理すると

$$ \begin{aligned} 1+\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2} &= \frac{1+t^2+2t+1-t^2}{1+t^2} \\ \frac{2(1+t)}{1+t^2} \end{aligned} $$

であるから，

$$ \begin{aligned} I= \int_0^1 \frac{1}{\frac{2(1+t)}{1+t^2}} \cdot \frac{2}{1+t^2},dt &= \int_0^1\frac{1}{1+t},dt \end{aligned} $$

よって

$$ I=\left[\log(1+t)\right]_0^1=\log 2

となる。

半角の正接置換

$$ t=\tan\frac{\omega}{2}

は，$\sin\omega,\cos\omega$ が同時に現れる積分を有理式の積分に直す典型手法である。

この問題では

$$ 1+\sin\omega+\cos\omega=\frac{2(1+t)}{1+t^2}

と非常に簡単な形になり，被積分関数全体が

$$ \frac{1}{1+t}

まで落ちる。この簡約が見抜ければ計算は一気に終わる。置換後の積分区間が $0$ から $1$ に変わることも確実に確認する必要がある。

$$ \log 2