解説

方針・初手

積分区間の長さが $\pi$ であり、しかも下端が $(n-1)\pi$ であるから、まず

$$ x=(n-1)\pi+t

$$

とおいて区間を $[0,\pi]$ に移すのが自然である。すると $|\sin x|$ の絶対値も外しやすくなり、$n$ による違いは $e^{-x}$ の係数だけになる。

解法1

求める積分を

$$ I_n=\int_{(n-1)\pi}^{n\pi} e^{-x}|\sin x|,dx

$$

とおく。

ここで

$$ x=(n-1)\pi+t

$$

とおくと、$dx=dt$ であり、$x=(n-1)\pi$ のとき $t=0$、$x=n\pi$ のとき $t=\pi$ である。したがって

$$ I_n=\int_0^\pi e^{-((n-1)\pi+t)}\left|\sin\bigl((n-1)\pi+t\bigr)\right|,dt

$$

となる。

さらに

$$ \sin\bigl((n-1)\pi+t\bigr)=(-1)^{n-1}\sin t

$$

であるから、

$$ \left|\sin\bigl((n-1)\pi+t\bigr)\right|=|\sin t|

$$

である。しかも $0\le t\le \pi$ では $\sin t\ge 0$ なので

$$ |\sin t|=\sin t

$$

である。よって

$$ I_n=e^{-(n-1)\pi}\int_0^\pi e^{-t}\sin t,dt

$$

を得る。

あとは

$$ \int e^{-t}\sin t,dt=-\frac12 e^{-t}(\sin t+\cos t)

$$

より、

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi e^{-t}\sin t,dt &= \left[-\frac12 e^{-t}(\sin t+\cos t)\right]_0^\pi \end{aligned} $$

である。ここで $\sin\pi=0,\ \cos\pi=-1,\ \sin0=0,\ \cos0=1$ を用いると

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi e^{-t}\sin t,dt &= -\frac12 e^{-\pi}(0-1)-\left(-\frac12\cdot 1\cdot (0+1)\right)\\ &=\frac12 e^{-\pi}+\frac12\\ &=\frac{1+e^{-\pi}}{2} \end{aligned}

$$

となる。

したがって

$$ I_n=e^{-(n-1)\pi}\cdot \frac{1+e^{-\pi}}{2}

$$

である。すなわち

$$ I_n=\frac12\left(e^{-(n-1)\pi}+e^{-n\pi}\right)

$$

である。

解説

この問題の要点は、積分区間がちょうど長さ $\pi$ の区間であることを見て、$(n-1)\pi$ だけ平行移動することである。こうすると $|\sin x|$ は $[0,\pi]$ 上の $\sin t$ に直り、絶対値の処理が一気に簡単になる。

その後は $\int e^{-t}\sin t,dt$ を計算するだけである。絶対値を直接場合分けしても解けるが、この平行移動を用いる方が $n$ への依存の仕方がはっきり見えるので処理しやすい。

答え

$$ \begin{aligned} \int_{(n-1)\pi}^{n\pi} e^{-x}|\sin x|,dx &= \frac12\left(e^{-(n-1)\pi}+e^{-n\pi}\right) \\ \frac{1+e^{-\pi}}{2},e^{-(n-1)\pi} \end{aligned} $$