解説

方針・初手

（1） は被積分関数 $x\sin x$ の偶奇に注目すると計算が簡単になる。

（2）、（3） は積和公式

$$ \sin A\sin B=\frac{1}{2}{\cos(A-B)-\cos(A+B)}

$$

を用いると、$[-\pi,\pi]$ での余弦の積分に帰着できる。

（4） は平方を展開してから （3） の結果を用いるのが最も自然である。

解法1

**(1)**

$x$ も $\sin x$ も奇関数であるから、$x\sin x$ は偶関数である。したがって

$$ \int_{-\pi}^{\pi}x\sin x,dx =2\int_0^{\pi}x\sin x,dx

$$

となる。

ここで部分積分を行うと、

$$ \int x\sin x,dx =-x\cos x+\sin x

$$

であるから、

$$ 2\int_0^{\pi}x\sin x,dx =2\left[-x\cos x+\sin x\right]_0^{\pi} =2\left(\pi-0\right) =2\pi

$$

よって、

$$ \int_{-\pi}^{\pi}x\sin x,dx=2\pi

$$

である。

**(2)**

積和公式より、

$$ \sin 2x\sin 3x =\frac{1}{2}{\cos(2x-3x)-\cos(2x+3x)} =\frac{1}{2}(\cos x-\cos 5x)

$$

である。したがって、

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin 2x\sin 3x,dx =\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(\cos x-\cos 5x),dx

$$

となる。

$\cos x,\cos 5x$ はいずれも $[-\pi,\pi]$ で積分すると $0$ になるので、

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin 2x\sin 3x,dx=0

$$

である。

**(3)**

$m,n$ を自然数とする。

まず $m\neq n$ のとき、積和公式より

$$ \sin mx\sin nx =\frac{1}{2}{\cos(m-n)x-\cos(m+n)x}

$$

であるから、

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx,dx =\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}{\cos(m-n)x-\cos(m+n)x},dx

$$

となる。

ここで $m\neq n$ なら $m-n\neq 0$ であり、また $m+n\neq 0$ であるから、どちらも $[-\pi,\pi]$ での積分は $0$ である。よって

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx,dx=0 \qquad (m\neq n)

$$

である。

次に $m=n$ のとき、

$$ \sin^2 mx=\frac{1-\cos 2mx}{2}

$$

であるから、

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin^2 mx,dx =\frac{1}{2}\int_{-\pi}^{\pi}(1-\cos 2mx),dx =\frac{1}{2}(2\pi-0) =\pi

$$

となる。

以上より、

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx,dx = \begin{cases} \pi & (m=n),\\ 0 & (m\ne n) \end{cases} $$

である。

**(4)**

平方を展開すると、

$$ \left(\sum_{k=1}^{2013}\sin kx\right)^2 =\sum_{k=1}^{2013}\sum_{j=1}^{2013}\sin kx\sin jx

$$

である。したがって、

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\left(\sum_{k=1}^{2013}\sin kx\right)^2dx =\sum_{k=1}^{2013}\sum_{j=1}^{2013} \int_{-\pi}^{\pi}\sin kx\sin jx,dx

$$

となる。

ここで （3） の結果を用いると、$k\neq j$ の項はすべて $0$ であり、$k=j$ の項だけが $\pi$ になる。よって

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\left(\sum_{k=1}^{2013}\sin kx\right)^2dx =\sum_{k=1}^{2013}\pi =2013\pi

$$

である。

解説

この問題の中心は、三角関数の直交性

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx,dx = \begin{cases} \pi & (m=n),\\ 0 & (m\ne n) \end{cases} $$

を理解して使えるかどうかである。

（2） はその典型例であり、（3） はそれを一般化した形である。さらに （4） は、和の二乗を展開すると直交性によって対角項だけが残る、という構造を見抜けるかがポイントである。

一方、（1） は三角関数の問題であっても、まず偶奇に注目することで計算が整理される。被積分関数の性質を先に見ることが有効である。

答え

**(1)**

$$ \int_{-\pi}^{\pi}x\sin x,dx=2\pi

$$

**(2)**

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin 2x\sin 3x,dx=0

$$

**(3)**

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin mx\sin nx,dx = \begin{cases} \pi & (m=n),\\ 0 & (m\ne n) \end{cases} $$

**(4)**

$$ \int_{-\pi}^{\pi}\left(\sum_{k=1}^{2013}\sin kx\right)^2dx=2013\pi

$$