解説

方針・初手

曲線 $C$ は媒介変数表示 $x=\tan t,\ y=\dfrac{1}{\cos t}$ を満たしているので， 三角恒等式 $1+\tan^2 t=\dfrac{1}{\cos^2 t}$ を用いれば $x,\ y$ の関係式に直せる。

また，$0\le t<\dfrac{\pi}{2}$ より $\cos t>0$ であるから， $y=\dfrac{1}{\cos t}$ は常に正であり，$C$ は双曲線の上側の枝である。 これにより交点も面積も $x$ を用いて処理できる。

解法1

まず曲線 $C$ の方程式を求める。

$$ x=\tan t,\qquad y=\frac{1}{\cos t}

$$

より，

$$ y^2-x^2=\frac{1}{\cos^2 t}-\tan^2 t =\left(1+\tan^2 t\right)-\tan^2 t=1

$$

したがって $C$ は

$$ y^2-x^2=1,\qquad y>0

$$

すなわち

$$ y=\sqrt{x^2+1}

$$

である。

（1） 交点

直線 $\ell$ の方程式は

$$ 2x-\sqrt{3},y=0

$$

すなわち

$$ y=\frac{2}{\sqrt{3}}x

$$

である。

これを $C$ の式 $y=\sqrt{x^2+1}$ に代入すると，

$$ \sqrt{x^2+1}=\frac{2}{\sqrt{3}}x

$$

両辺を2乗して，

$$ x^2+1=\frac{4}{3}x^2

$$

よって

$$ 1=\frac{1}{3}x^2,\qquad x^2=3

$$

ここで $0\le t<\dfrac{\pi}{2}$ より $x=\tan t\ge 0$ であるから，

$$ x=\sqrt{3}

$$

したがって

$$ y=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot \sqrt{3}=2

$$

ゆえに交点は

$$ (\sqrt{3},2)

$$

である。

（2） 面積

求める部分は，$x=0$ から交点の $x=\sqrt{3}$ までの間で， 上側が曲線 $C$，下側が直線 $\ell$ となる部分である。

したがって面積 $S$ は

$$ S=\int_0^{\sqrt{3}}\left(\sqrt{x^2+1}-\frac{2}{\sqrt{3}}x\right),dx

$$

である。

まず，

$$ \int \sqrt{x^2+1},dx =\frac{1}{2}\left(x\sqrt{x^2+1}+\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\right)

$$

を用いると，

$$ \int_0^{\sqrt{3}}\sqrt{x^2+1},dx =\frac{1}{2}\left[, x\sqrt{x^2+1}+\log\left(x+\sqrt{x^2+1}\right) \right]_0^{\sqrt{3}}

$$

$$ =\frac{1}{2}\left( \sqrt{3}\cdot 2+\log(\sqrt{3}+2)-0 \right) =\sqrt{3}+\frac{1}{2}\log(2+\sqrt{3})

$$

また，

$$ \int_0^{\sqrt{3}}\frac{2}{\sqrt{3}}x,dx =\frac{1}{\sqrt{3}}x^2\Big|_0^{\sqrt{3}} =\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}

$$

よって，

$$ S=\left(\sqrt{3}+\frac{1}{2}\log(2+\sqrt{3})\right)-\sqrt{3} =\frac{1}{2}\log(2+\sqrt{3})

$$

したがって求める面積は

$$ \frac{1}{2}\log(2+\sqrt{3})

$$

である。

解説

この問題の要点は，媒介変数表示をそのまま扱い続けるのではなく， まず曲線 $C$ を通常の方程式に直すことである。

$x=\tan t,\ y=\dfrac{1}{\cos t}$ から $y^2-x^2=1$ を得れば，$C$ が双曲線の上側の枝だと分かる。 すると交点は連立方程式で処理でき，面積も通常の定積分として素直に計算できる。

また，$0\le t<\dfrac{\pi}{2}$ という条件から $x\ge 0,\ y>0$ であることを忘れないことが重要である。 交点の計算で $x=-\sqrt{3}$ を除く理由もここにある。

答え

**(1)**

交点は

$$ (\sqrt{3},2)

$$

である。

**(2)**

面積は

$$ \frac{1}{2}\log(2+\sqrt{3})

$$

である。