解説

方針・初手

極方程式 $r=\sqrt{\cos 2\theta}$ で与えられているので、まず

$$ x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta

$$

を用いて媒介変数 $\theta$ による表示に直すのが自然である。

そのうえで、接線の傾きは

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}

$$

で求める。また、（3） は極座標で面積を直接出すよりも、直線 $x=\dfrac{\sqrt6}{4}$ を下限とする極座標積分に直すのが最も整理しやすい。

解法1

（1） 曲線 $C$ 上の点 $P$ の直交座標を求める。

極座標と直交座標の関係より

$$ x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta

$$

である。ここで

$$ r=\sqrt{\cos 2\theta}

$$

であるから、

$$ x=\sqrt{\cos 2\theta}\cos\theta,\qquad y=\sqrt{\cos 2\theta}\sin\theta

$$

となる。

したがって、点 $P$ の直交座標は

$$ \left(\sqrt{\cos 2\theta}\cos\theta,\ \sqrt{\cos 2\theta}\sin\theta\right)

$$

である。

（2） 点 $Q$ における接線の傾きが $-1$ となるときの $\theta$ を求める。

まず

$$ x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta

$$

より、

$$ \frac{dx}{d\theta}=r'\cos\theta-r\sin\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=r'\sin\theta+r\cos\theta

$$

である。したがって接線の傾きは

$$ \begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{r'\sin\theta+r\cos\theta}{r'\cos\theta-r\sin\theta} \end{aligned} $$

となる。

ここで

$$ r=\sqrt{\cos 2\theta}

$$

より、

$$ \begin{aligned} r'=\frac{-2\sin 2\theta}{2\sqrt{\cos 2\theta}} &= -\frac{\sin 2\theta}{\sqrt{\cos 2\theta}} \end{aligned} $$

である。

接線の傾きが $-1$ であるから

$$ \frac{r'\sin\theta+r\cos\theta}{r'\cos\theta-r\sin\theta}=-1

$$

すなわち

$$ r'\sin\theta+r\cos\theta=-r'\cos\theta+r\sin\theta

$$

であり、整理すると

$$ r'(\sin\theta+\cos\theta)=r(\sin\theta-\cos\theta)

$$

となる。

ここで $r'=-\dfrac{\sin 2\theta}{r}$ および $r^2=\cos 2\theta$ を代入すると

$$ -\sin 2\theta(\sin\theta+\cos\theta)=\cos 2\theta(\sin\theta-\cos\theta)

$$

を得る。さらに $\sin 2\theta=2\sin\theta\cos\theta$、$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$ を用いると

$$ \begin{aligned} -2\sin\theta\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta) &= (\cos^2\theta-\sin^2\theta)(\sin\theta-\cos\theta) \end{aligned} $$

である。右辺は

$$ (\cos^2\theta-\sin^2\theta)(\sin\theta-\cos\theta) =-(\sin\theta+\cos\theta)(\cos\theta-\sin\theta)^2

$$

と変形できるので、

$$ 2\sin\theta\cos\theta=(\cos\theta-\sin\theta)^2

$$

となる。

右辺を展開すると

$$ \begin{aligned} 2\sin\theta\cos\theta &= \cos^2\theta-2\sin\theta\cos\theta+\sin^2\theta \\ 1-2\sin\theta\cos\theta \end{aligned} $$

であるから、

$$ 4\sin\theta\cos\theta=1

$$

すなわち

$$ 2\sin 2\theta=1

$$

より

$$ \sin 2\theta=\frac12

$$

を得る。$0\leqq \theta\leqq \dfrac{\pi}{4}$ なので $0\leqq 2\theta\leqq \dfrac{\pi}{2}$ であり、

$$ 2\theta=\frac{\pi}{6}

$$

したがって

$$ \theta=\frac{\pi}{12}

$$

である。

（3） 曲線 $C$ と $x$ 軸とによって囲まれる図形のうち、$x\geqq \dfrac{\sqrt6}{4}$ の部分の面積 $S$ を求める。

極座標では

$$ x=r\cos\theta

$$

であるから、条件 $x\geqq \dfrac{\sqrt6}{4}$ は

$$ r\cos\theta\geqq \frac{\sqrt6}{4}

$$

すなわち

$$ r\geqq \frac{\sqrt6}{4\cos\theta}

$$

と書ける。

一方、曲線 $C$ の内側は

$$ 0\leqq r\leqq \sqrt{\cos 2\theta}

$$

で表される。したがって、求める部分では

$$ \frac{\sqrt6}{4\cos\theta}\leqq r\leqq \sqrt{\cos 2\theta}

$$

となる角 $\theta$ の範囲を求めればよい。

その境界は

$$ \sqrt{\cos 2\theta}\cos\theta=\frac{\sqrt6}{4}

$$

で与えられる。両辺を2乗すると

$$ \cos 2\theta\cos^2\theta=\frac38

$$

である。ここで $\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$ を用いると

$$ \cos 2\theta\cdot \frac{1+\cos 2\theta}{2}=\frac38

$$

より

$$ 4\cos^2 2\theta+4\cos 2\theta-3=0

$$

となる。これを解くと

$$ \cos 2\theta=\frac12

$$

であり、$0\leqq 2\theta\leqq \dfrac{\pi}{2}$ だから

$$ 2\theta=\frac{\pi}{3},\qquad \theta=\frac{\pi}{6}

$$

である。

よって面積は

$$ \begin{aligned} S=\frac12\int_0^{\pi/6} \left\{ \left(\sqrt{\cos 2\theta}\right)^2 &= \left(\frac{\sqrt6}{4\cos\theta}\right)^2 \right\} ,d\theta \end{aligned} $$

すなわち

$$ S=\frac12\int_0^{\pi/6}\left(\cos 2\theta-\frac{3}{8}\sec^2\theta\right),d\theta

$$

である。これを計算すると

$$ \begin{aligned} S &= \frac12 \left[ \frac12\sin 2\theta-\frac38\tan\theta \right]_0^{\pi/6} \\ &= \frac12 \left( \frac12\sin\frac{\pi}{3}-\frac38\tan\frac{\pi}{6} \right) \\ &= \frac12 \left( \frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac38\cdot\frac1{\sqrt3} \right) \\ &= \frac12 \left( \frac{\sqrt3}{4}-\frac{\sqrt3}{8} \right) \\ &= \frac12\cdot\frac{\sqrt3}{8} &=

\frac{\sqrt3}{16} \end{aligned}

$$

となる。

解説

この問題の要点は、極方程式をそのまま扱うことである。

（1） は極座標から直交座標への基本変換である。 （2） は $x,y$ を $\theta$ の式で表して媒介変数表示とみなし、

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}

$$

を用いるのが標準的である。 （3） は「曲線の内側」から「$x\geqq \dfrac{\sqrt6}{4}$」という条件を満たす部分だけを抜き出す問題であり、極座標では半径 $r$ の下限が直線 $x=\dfrac{\sqrt6}{4}$ によって決まると見るのがポイントである。

答え

**(1)**

$$ (x,y)=\left(\sqrt{\cos 2\theta}\cos\theta,\ \sqrt{\cos 2\theta}\sin\theta\right)

$$

**(2)**

$$ \theta=\frac{\pi}{12}

$$

**(3)**

$$ S=\frac{\sqrt3}{16}

$$