解説

方針・初手

(1) は、$\sin x=\sin(\pi-x)$ という対称性を用いて、積分区間 $[0,\pi]$ の前半と後半を対応させればよい。

(2) は、被積分関数を $x,f(\sin x)$ の形に見て (1) を適用する。その後は $u=\cos x$ とおくと有理関数の積分に帰着する。

解法1

**(1)**

$$ I=\int_0^\pi x,f(\sin x),dx

$$

とおく。

ここで $x=\pi-t$ と置換すると、$dx=-dt$ であり、

$$ I=\int_\pi^0 (\pi-t)f(\sin(\pi-t))(-dt) =\int_0^\pi (\pi-t)f(\sin t),dt

$$

となる。$\sin(\pi-t)=\sin t$ を用いた。

したがって、元の表示に戻して

$$ I=\int_0^\pi (\pi-x)f(\sin x),dx

$$

である。これを最初の式と加えると、

$$ 2I=\int_0^\pi {x+(\pi-x)}f(\sin x),dx =\pi\int_0^\pi f(\sin x),dx

$$

となるので、

$$ I=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x),dx

$$

を得る。よって

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi x,f(\sin x),dx &= \frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x),dx \end{aligned} $$

が成り立つ。

**(2)**

求める積分を

$$ J=\int_0^\pi \frac{x(a^2-4\cos^2 x)\sin x}{a^2-\cos^2 x},dx

$$

とおく。

$a>1$ より、$0\le t\le 1$ に対して $a^2-1+t^2>0$ であるから、

$$ f(t)=\frac{(a^2-4+4t^2)t}{a^2-1+t^2}

$$

は $[0,1]$ 上で連続である。

このとき $\cos^2 x=1-\sin^2 x$ を用いると、

$$ \begin{aligned} f(\sin x) &= \frac{(a^2-4+4\sin^2 x)\sin x}{a^2-1+\sin^2 x} \\ \frac{(a^2-4\cos^2 x)\sin x}{a^2-\cos^2 x} \end{aligned} $$

となる。したがって

$$ J=\int_0^\pi x,f(\sin x),dx

$$

であるから、(1) より

$$ J=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi \frac{(a^2-4\cos^2 x)\sin x}{a^2-\cos^2 x},dx

$$

を得る。

ここで

$$ K=\int_0^\pi \frac{(a^2-4\cos^2 x)\sin x}{a^2-\cos^2 x},dx

$$

とおくと、$u=\cos x$ と置換して $du=-\sin x,dx$ より、

$$ K=\int_{-1}^1 \frac{a^2-4u^2}{a^2-u^2},du

$$

となる。

被積分関数を変形すると、

$$ \begin{aligned} \frac{a^2-4u^2}{a^2-u^2} &= 4-\frac{3a^2}{a^2-u^2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ K=\int_{-1}^1 \left(4-\frac{3a^2}{a^2-u^2}\right),du =8-3a^2\int_{-1}^1 \frac{du}{a^2-u^2}

$$

となる。

さらに

$$ \begin{aligned} \int \frac{du}{a^2-u^2} &= \frac{1}{2a}\log\frac{a+u}{a-u} \qquad (a>1) \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} \int_{-1}^1 \frac{du}{a^2-u^2} &= \frac{1}{2a}\left[ \log\frac{a+u}{a-u} \right]_{-1}^1 &= \frac{1}{a}\log\frac{a+1}{a-1} \end{aligned} $$

である。よって

$$ K=8-3a\log\frac{a+1}{a-1}

$$

したがって

$$ \begin{aligned} J=\frac{\pi}{2}K &= 4\pi-\frac{3\pi a}{2}\log\frac{a+1}{a-1} \end{aligned} $$

となる。

解説

(1) の本質は、$\sin x$ が $x$ と $\pi-x$ で同じ値をとることである。そのため、$x$ と $\pi-x$ を重みとして足すと常に $\pi$ になり、$x$ を含む積分が単純化される。

(2) では、複雑に見える被積分関数を $f(\sin x)$ とみなせるかどうかが着眼点である。そこに気づけば (1) がそのまま使え、残りは $u=\cos x$ の置換で計算できる。

答え

**(1)**

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi x,f(\sin x),dx &= \frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(\sin x),dx \end{aligned} $$

**(2)**

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi \frac{x(a^2-4\cos^2 x)\sin x}{a^2-\cos^2 x},dx &= 4\pi-\frac{3\pi a}{2}\log\frac{a+1}{a-1} \end{aligned} $$