解説

方針・初手

$f(x)=(1-x^2)e^{-x}$ では、$e^{-x}>0$ であるため、符号や増減は多項式部分との組み合わせで判断しやすい。まず導関数 $f'(x)$ を求め、増減と極値を調べる。面積は、$y\geqq 0$ となる範囲を確認して定積分で求める。

解法1

まず、導関数を求める。

$$ \begin{aligned} f'(x) &=(-2x)e^{-x}+(1-x^2)(-e^{-x}) \\ &=(x^2-2x-1)e^{-x}. \end{aligned}

$$

ここで $e^{-x}>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は

$$ x^2-2x-1=(x-1)^2-2

$$

の符号で決まる。

$$ x^2-2x-1=0

$$

を解くと、

$$ x=1\pm \sqrt{2}

$$

である。

したがって、$f'(x)$ の符号は次のようになる。

| $x$ | $(-\infty,1-\sqrt2)$ | $1-\sqrt2$ | $(1-\sqrt2,1+\sqrt2)$ | $1+\sqrt2$ | $(1+\sqrt2,\infty)$ | | ------- | -------------------: | ---------: | --------------------: | ---------: | ------------------: | | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $f(x)$ | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

よって、$x=1-\sqrt2$ で極大、$x=1+\sqrt2$ で極小をとる。

極大値は

$$ \begin{aligned} f(1-\sqrt2) &={1-(1-\sqrt2)^2}e^{-(1-\sqrt2)} \\ &={1-(3-2\sqrt2)}e^{-1+\sqrt2} \\ &=(2\sqrt2-2)e^{\sqrt2-1} \\ &=2(\sqrt2-1)e^{\sqrt2-1}. \end{aligned}

$$

極小値は

$$ \begin{aligned} f(1+\sqrt2) &={1-(1+\sqrt2)^2}e^{-(1+\sqrt2)} \\ &={1-(3+2\sqrt2)}e^{-1-\sqrt2} \\ &=(-2-2\sqrt2)e^{-1-\sqrt2} \\ &=-2(1+\sqrt2)e^{-1-\sqrt2}. \end{aligned}

$$

また、グラフの概形を考えるために、切片と極限を確認する。

$$ f(x)=0

$$

となるのは

$$ 1-x^2=0

$$

より、

$$ x=\pm 1

$$

である。したがって、グラフは $(-1,0)$、$(1,0)$ を通る。

また、

$$ f(0)=1

$$

より、$y$ 軸との交点は $(0,1)$ である。

極限について、

$$ \lim_{x\to \infty}(1-x^2)e^{-x}=0

$$

であり、$x\to\infty$ では $1-x^2<0$ だから、グラフは $x$ 軸の下側から $y=0$ に近づく。

一方、

$$ \lim_{x\to -\infty}(1-x^2)e^{-x}=-\infty

$$

である。

したがって、グラフは左下から増加して $(-1,0)$ を通り、$x=1-\sqrt2$ で極大となる。その後減少して $(1,0)$ を通り、$x=1+\sqrt2$ で極小となる。その後は増加し、$x$ 軸の下側から $y=0$ に近づく。

次に、面積を求める。

$e^{-x}>0$ より、$f(x)\geqq 0$ となる条件は

$$ 1-x^2\geqq 0

$$

である。よって、

$$ -1\leqq x\leqq 1

$$

である。

したがって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_{-1}^{1}(1-x^2)e^{-x},dx

$$

である。

ここで、

$$ \frac{d}{dx}{(x+1)^2e^{-x}} ={2(x+1)-(x+1)^2}e^{-x} =(1-x^2)e^{-x}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} S &=\left[(x+1)^2e^{-x}\right]_{-1}^{1} \\ &=4e^{-1}-0 \\ &=\frac{4}{e}. \end{aligned}

$$

解説

この問題では、$e^{-x}$ が常に正であることを使うのが重要である。増減は $f'(x)$ の符号で決まるが、$e^{-x}>0$ なので、実質的には二次式 $x^2-2x-1$ の符号だけを見ればよい。

また、面積についても $e^{-x}>0$ より、$f(x)$ の符号は $1-x^2$ の符号だけで決まる。したがって、$y\geqq0$ の部分は $-1\leqq x\leqq1$ に限定される。

積分では、$(1-x^2)e^{-x}$ をそのまま部分積分で処理してもよいが、

$$ \frac{d}{dx}{(x+1)^2e^{-x}}=(1-x^2)e^{-x}

$$

に気づくと計算が短くなる。

答え

**(1)**

増減は次の通りである。

| $x$ | $(-\infty,1-\sqrt2)$ | $1-\sqrt2$ | $(1-\sqrt2,1+\sqrt2)$ | $1+\sqrt2$ | $(1+\sqrt2,\infty)$ | | ------- | -------------------: | ---------: | --------------------: | ---------: | ------------------: | | $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | | $f(x)$ | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

極大値は

$$ 2(\sqrt2-1)e^{\sqrt2-1}

$$

であり、極小値は

$$ -2(1+\sqrt2)e^{-1-\sqrt2}

$$

である。

グラフは $(-1,0)$、$(0,1)$、$(1,0)$ を通り、$x\to\infty$ で $x$ 軸の下側から $y=0$ に近づく。また、$x\to-\infty$ で $y\to-\infty$ となる。

**(2)**

求める面積は

$$ \frac{4}{e}

$$

である。