解説

方針・初手

(2) の2つの積分の差は、対数の性質により

$$ \log(1+\alpha^2)-2\log\alpha=\log\frac{1+\alpha^2}{\alpha^2} =\log\left(1+\frac{1}{\alpha^2}\right)

$$

と変形できる。これにより正であることが分かる。

(3) では、(2) の不等式によって、求めたい積分を計算しやすい積分

$$ \int_1^t \frac{\alpha\log(1+\alpha^2)}{1+\alpha^2},d\alpha

$$

と比較する。

解法1

まず （1） を求める。

$$ \int_0^1 \frac{\alpha}{1+\alpha^2},d\alpha

$$

において、$u=1+\alpha^2$ とおくと、$du=2\alpha,d\alpha$ である。したがって

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{\alpha}{1+\alpha^2},d\alpha &= \frac12\int_1^2 \frac{1}{u},du \\ \frac12\log 2 \end{aligned} $$

である。

次に （2） を示す。2つの積分の差を $D(t)$ とおく。

$$ \begin{aligned} D(t) &= \int_1^t \frac{\alpha\log(1+\alpha^2)}{1+\alpha^2},d\alpha \\ \int_1^t \frac{2\alpha\log\alpha}{1+\alpha^2},d\alpha \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} D(t) &= \int_1^t \frac{\alpha}{1+\alpha^2} \left\{\log(1+\alpha^2)-2\log\alpha\right\},d\alpha \\ &= \int_1^t \frac{\alpha}{1+\alpha^2} \log\left(\frac{1+\alpha^2}{\alpha^2}\right),d\alpha \\ &= \int_1^t \frac{\alpha}{1+\alpha^2} \log\left(1+\frac{1}{\alpha^2}\right),d\alpha \end{aligned}

$$

となる。

$t>1$ であり、$1\leqq \alpha\leqq t$ において

$$ \frac{\alpha}{1+\alpha^2}>0,\qquad \log\left(1+\frac{1}{\alpha^2}\right)>0

$$

である。よって

$$ D(t)>0

$$

である。

また、$\alpha\geqq 1$ において

$$ 0<\log\left(1+\frac{1}{\alpha^2}\right)<1

$$

が成り立つので、

$$ D(t) < \int_1^t \frac{\alpha}{1+\alpha^2},d\alpha

$$

である。右辺は

$$ \begin{aligned} \int_1^t \frac{\alpha}{1+\alpha^2},d\alpha &= \frac12\log(1+t^2)-\frac12\log 2 \\ \frac12\log\frac{1+t^2}{2} \end{aligned} $$

である。ここで $t>1$ より $\log(1+t^2)>0$ であり、

$$ \frac12\log\frac{1+t^2}{2}<\log(1+t^2)

$$

が成り立つ。したがって

$$ 0<D(t)<\log(1+t^2)

$$

すなわち

$$ \begin{aligned} 0< \int_1^t \frac{\alpha\log(1+\alpha^2)}{1+\alpha^2},d\alpha \\ &= \int_1^t \frac{2\alpha\log\alpha}{1+\alpha^2},d\alpha \\ &< \log(1+t^2) \end{aligned} $$

が示された。

最後に （3） を求める。

$$ A(t)=\int_1^t \frac{\alpha\log\alpha}{1+\alpha^2},d\alpha

$$

とおく。また

$$ B(t)=\int_1^t \frac{\alpha\log(1+\alpha^2)}{1+\alpha^2},d\alpha

$$

とおく。

$u=\log(1+\alpha^2)$ とおくと、

$$ du=\frac{2\alpha}{1+\alpha^2},d\alpha

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} B(t) &= \frac12\int_{\log 2}^{\log(1+t^2)} u,du \\ &= \frac14\left\{\log(1+t^2)\right\}^2-\frac14(\log 2)^2 \end{aligned}

$$

である。

(2) より

$$ 0<B(t)-2A(t)<\log(1+t^2)

$$

である。これを ${\log(1+t^2)}^2$ で割ると、

$$ 0< \frac{B(t)-2A(t)}{{\log(1+t^2)}^2} < \frac{1}{\log(1+t^2)}

$$

となる。$t\to\infty$ のとき、右辺は $0$ に近づくので、はさみうちの原理より

$$ \lim_{t\to\infty} \frac{B(t)-2A(t)}{{\log(1+t^2)}^2} =0

$$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \frac{B(t)}{{\log(1+t^2)}^2} &= \frac14-\frac{(\log 2)^2}{4{\log(1+t^2)}^2} \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} \lim_{t\to\infty} \frac{B(t)}{{\log(1+t^2)}^2} &= \frac14 \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} \lim_{t\to\infty} \frac{2A(t)}{{\log(1+t^2)}^2} &= \frac14 \end{aligned} $$

となるので、

$$ \begin{aligned} \lim_{t\to\infty} \frac{1}{{\log(1+t^2)}^2} \int_1^t \frac{\alpha\log\alpha}{1+\alpha^2},d\alpha &= \frac18 \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、$\log(1+\alpha^2)$ と $2\log\alpha$ の差を

$$ \log\left(1+\frac{1}{\alpha^2}\right)

$$

に直すことである。これにより、(2) の不等式は被積分関数の正負と簡単な上からの評価で処理できる。

(3) は直接積分しようとすると扱いにくいが、(2) によって

$$ 2\int_1^t \frac{\alpha\log\alpha}{1+\alpha^2},d\alpha

$$

が、計算しやすい

$$ \int_1^t \frac{\alpha\log(1+\alpha^2)}{1+\alpha^2},d\alpha

$$

と高々 $\log(1+t^2)$ だけしか違わないことが分かる。分母が ${\log(1+t^2)}^2$ なので、この誤差は極限では消える。

答え

**(1)**

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{\alpha}{1+\alpha^2},d\alpha &= \frac12\log 2 \end{aligned} $$

**(2)**

$$ \begin{aligned} 0< \int_1^t \frac{\alpha\log(1+\alpha^2)}{1+\alpha^2},d\alpha \\ &= \int_1^t \frac{2\alpha\log\alpha}{1+\alpha^2},d\alpha \\ &< \log(1+t^2) \end{aligned} $$

が成り立つ。

**(3)**

$$ \begin{aligned} \lim_{t\to\infty} \frac{1}{{\log(1+t^2)}^2} \int_1^t \frac{\alpha\log\alpha}{1+\alpha^2},d\alpha &= \frac18 \end{aligned} $$