解説

方針・初手

$f(x)$ は指数関数と分数関数の積であるから、まず積の微分を用いて $f'(x)$ を求める。

極値は $f'(x)$ の符号変化から調べる。面積は $x>0$ で $f(x)>0$ であることを利用し、定積分

$$ S=\int_1^2 f(x),dx

$$

を計算すればよい。

解法1

関数は

$$ f(x)=\frac{1}{x^3}e^{-\frac{1}{x}} =x^{-3}e^{-\frac{1}{x}}

$$

である。

まず導関数を求める。積の微分法より、

$$ \begin{aligned} f'(x) &=(-3x^{-4})e^{-\frac{1}{x}} +x^{-3}e^{-\frac{1}{x}}\cdot \frac{1}{x^2} \\ &=e^{-\frac{1}{x}}\left(-3x^{-4}+x^{-5}\right) \\ &=\frac{1-3x}{x^5}e^{-\frac{1}{x}}. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ f'(x)=\frac{1-3x}{x^5}e^{-\frac{1}{x}}

$$

である。

次に極値を調べる。$x>0$ では

$$ x^5>0,\qquad e^{-\frac{1}{x}}>0

$$

であるから、$f'(x)$ の符号は $1-3x$ の符号で決まる。

よって、

$$ \begin{cases} 0<x<\dfrac{1}{3} & \text{のとき } f'(x)>0,\\ x=\dfrac{1}{3} & \text{のとき } f'(x)=0,\\ x>\dfrac{1}{3} & \text{のとき } f'(x)<0. \end{cases}

$$

したがって、$f(x)$ は $x=\dfrac{1}{3}$ で極大となる。その極大値は

$$ f\left(\frac{1}{3}\right) =\frac{1}{\left(\frac{1}{3}\right)^3}e^{-3} =27e^{-3} =\frac{27}{e^3}

$$

である。

一方、$x=\dfrac{1}{3}$ 以外に $f'(x)=0$ となる点はなく、増加から減少への変化だけが起こるので、極小値は存在しない。

最後に面積 $S$ を求める。$x>0$ で $f(x)>0$ であるから、求める面積は

$$ S=\int_1^2 \frac{1}{x^3}e^{-\frac{1}{x}},dx

$$

である。

ここで

$$ t=\frac{1}{x}

$$

とおくと、

$$ dx=-\frac{1}{t^2},dt,\qquad \frac{1}{x^3}=t^3

$$

である。また、$x=1$ のとき $t=1$、$x=2$ のとき $t=\dfrac{1}{2}$ である。

したがって、

$$ \begin{aligned} S &=\int_1^2 \frac{1}{x^3}e^{-\frac{1}{x}},dx \\ &=\int_1^{\frac{1}{2}} t^3e^{-t}\left(-\frac{1}{t^2}\right),dt \\ &=\int_{\frac{1}{2}}^1 te^{-t},dt. \end{aligned}

$$

部分積分、または

$$ \frac{d}{dt}\left\{-(t+1)e^{-t}\right\}=te^{-t}

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} S &=\left[-(t+1)e^{-t}\right]_{\frac{1}{2}}^1 \\ &=-2e^{-1}+\frac{3}{2}e^{-\frac{1}{2}}. \end{aligned}

$$

よって、

$$ S=\frac{3}{2\sqrt e}-\frac{2}{e}

$$

である。

解説

この問題では、$e^{-\frac{1}{x}}$ の微分で符号を誤りやすい。指数部分 $-\dfrac{1}{x}$ の微分は $\dfrac{1}{x^2}$ であるため、導関数は

$$ \frac{1-3x}{x^5}e^{-\frac{1}{x}}

$$

となる。

極値の判定では、$x>0$ により $x^5$ と $e^{-\frac{1}{x}}$ が常に正であることを使う。したがって符号判定は $1-3x$ だけを見ればよい。

面積計算では、置換 $t=\dfrac{1}{x}$ によって $x^{-3}dx$ が $-t,dt$ に変わる点が重要である。積分区間の向きが反転するので、符号処理に注意する。

答え

**(1)**

$$ f'(x)=\frac{1-3x}{x^5}e^{-\frac{1}{x}}

$$

**(2)**

$x=\dfrac{1}{3}$ で極大値

$$ \frac{27}{e^3}

$$

をとる。極小値は存在しない。

**(3)**

$$ S=\frac{3}{2\sqrt e}-\frac{2}{e}

$$