解説

方針・初手

（1） と （2） は、和の各項から $\frac{1}{n}$ を取り出すと定積分のリーマン和になる。

（3） は階乗をそのまま扱うより、まず積に直してから対数を取ると、やはりリーマン和に帰着できる。

解法1

**(1)**

与式は

$$ \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k} =\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{1+\frac{k}{n}}

$$

と変形できる。

ここで $f(x)=\frac{1}{1+x}$ は $[0,1]$ 上で連続であるから、右辺は $[0,1]$ におけるリーマン和であり、

$$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k} =\int_0^1\frac{1}{1+x},dx

$$

となる。

よって

$$ \int_0^1\frac{1}{1+x},dx =\left[\log(1+x)\right]_0^1 =\log 2

$$

である。

したがって、

$$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k} =\log 2

$$

である。

**(2)**

与式を整理すると、

$$ \frac{1}{n^4}\sum_{k=0}^{n-1}k^2\sqrt{n^2-k^2} =\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{n}\left(\frac{k}{n}\right)^2\sqrt{1-\left(\frac{k}{n}\right)^2}

$$

となる。

ここで $f(x)=x^2\sqrt{1-x^2}$ は $[0,1]$ 上で連続であるから、これは $[0,1]$ 上のリーマン和であり、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^4}\sum_{k=0}^{n-1}k^2\sqrt{n^2-k^2} =\int_0^1 x^2\sqrt{1-x^2},dx

$$

となる。

この積分を計算するために、$x=\sin\theta$ とおく。すると

$$ dx=\cos\theta,d\theta,\qquad \sqrt{1-x^2}=\cos\theta

$$

であり、$x=0$ のとき $\theta=0$、$x=1$ のとき $\theta=\frac{\pi}{2}$ だから、

$$ \int_0^1 x^2\sqrt{1-x^2},dx =\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^2\theta,d\theta

$$

となる。

さらに

$$ \sin^2\theta\cos^2\theta=\frac{1}{4}\sin^2 2\theta

$$

より、

$$ \int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^2\theta,d\theta =\frac{1}{4}\int_0^{\pi/2}\sin^2 2\theta,d\theta

$$

ここで $u=2\theta$ とおくと、

$$ \frac{1}{4}\int_0^{\pi/2}\sin^2 2\theta,d\theta =\frac{1}{8}\int_0^{\pi}\sin^2 u,du

$$

である。さらに

$$ \int_0^\pi \sin^2 u,du=\frac{\pi}{2}

$$

だから、

$$ \int_0^1 x^2\sqrt{1-x^2},dx =\frac{1}{8}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{16}

$$

となる。

したがって、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^4}\sum_{k=0}^{n-1}k^2\sqrt{n^2-k^2} =\frac{\pi}{16}

$$

である。

**(3)**

まず階乗を積に直すと、

$$ \frac{(2n)!}{n!,n^n} =\frac{(n+1)(n+2)\cdots(2n)}{n^n} =\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n}\right)

$$

となる。

したがって求める極限を $L$ とすると、

$$ L=\lim_{n\to\infty}\left(\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n}\right)\right)^{1/n}

$$

である。

ここで対数を取ると、

$$ \log L =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\log\left(1+\frac{k}{n}\right)

$$

となる。

$f(x)=\log(1+x)$ は $[0,1]$ 上で連続だから、右辺はリーマン和の極限として

$$ \log L=\int_0^1\log(1+x),dx

$$

である。

この積分は

$$ \int_0^1\log(1+x),dx =\left[(1+x)\log(1+x)-x\right]_0^1 =2\log 2-1

$$

となるので、

$$ \log L=2\log 2-1

$$

したがって、

$$ L=e^{2\log 2-1}=\frac{4}{e}

$$

である。

解説

この問題の中心は、和や積をリーマン和に読み替えることである。

（1） は最も基本的な形で、各項を $\frac{1}{n}$ 倍の形に直せばそのまま定積分になる。

（2） も同様であるが、$\sqrt{n^2-k^2}=n\sqrt{1-(k/n)^2}$ と直して、全体を $\frac{1}{n}$ の形にそろえることが重要である。積分計算では三角置換が自然である。

（3） は階乗のままだと見通しが悪いが、まず積に直し、その $n$ 乗根を扱うために対数を取ると、平均の形になってリーマン和に落ちる。ここを見抜けるかどうかが要点である。

答え

**(1)**

$\log 2$

**(2)**

$\dfrac{\pi}{16}$

**(3)**

$\dfrac{4}{e}$