解説

方針・初手

絶対値の中身 $t^4-\omega^2$ の符号が変わる点を調べる。

$0\leqq \omega \leqq 1$，$0\leqq t\leqq 1$ であるから，

$$ t^4=\omega^2

$$

より

$$ t=\sqrt{\omega}

$$

で符号が変わる。したがって積分区間を $0\leqq t\leqq \sqrt{\omega}$ と $\sqrt{\omega}\leqq t\leqq 1$ に分けて処理する。

解法1

$0\leqq t\leqq \sqrt{\omega}$ では $t^4\leqq \omega^2$，$\sqrt{\omega}\leqq t\leqq 1$ では $t^4\geqq \omega^2$ である。

よって

$$ \begin{aligned} f(\omega) &= \int_0^{\sqrt{\omega}}(\omega^2-t^4),dt + \int_{\sqrt{\omega}}^1(t^4-\omega^2),dt \end{aligned} $$

となる。

まず第1項は

$$ \begin{aligned} \int_0^{\sqrt{\omega}}(\omega^2-t^4),dt &= \left[\omega^2t-\frac{t^5}{5}\right]_0^{\sqrt{\omega}} \\ &= \omega^2\sqrt{\omega}-\frac{(\sqrt{\omega})^5}{5} \\ &= \omega^{5/2}-\frac{\omega^{5/2}}{5} \\ &= \frac45\omega^{5/2} \end{aligned}

$$

である。

次に第2項は

$$ \begin{aligned} \int_{\sqrt{\omega}}^1(t^4-\omega^2),dt &= \left[\frac{t^5}{5}-\omega^2t\right]_{\sqrt{\omega}}^1 \\ &= \left(\frac15-\omega^2\right) &=

\left(\frac{\omega^{5/2}}5-\omega^{5/2}\right) \\ &= \frac15-\omega^2+\frac45\omega^{5/2} \end{aligned}

$$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} f(\omega) &= \frac15-\omega^2+\frac85\omega^{5/2} \end{aligned} $$

となる。これが定義域 $0\leqq \omega \leqq 1$ における $f(\omega)$ である。

次に増減，極値，凹凸，変曲点を調べる。

$$ \begin{aligned} f'(\omega) &= -2\omega+4\omega^{3/2} \\ 2\omega(2\sqrt{\omega}-1) \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ f'(\omega)=0

$$

となるのは

$$ \omega=0,\ \frac14

$$

である。

$0<\omega<\frac14$ では $2\sqrt{\omega}-1<0$ なので $f'(\omega)<0$，$\frac14<\omega<1$ では $2\sqrt{\omega}-1>0$ なので $f'(\omega)>0$ である。

よって $f(\omega)$ は

$$ 0<\omega<\frac14

$$

で減少し，

$$ \frac14<\omega<1

$$

で増加する。

極小値は $\omega=\frac14$ でとる。

$$ \begin{aligned} f\left(\frac14\right) &= \frac15-\frac1{16} + \frac85\left(\frac14\right)^{5/2} \\ &= \frac15-\frac1{16} + \frac85\cdot \frac1{32} \\ &= \frac15-\frac1{16}+\frac1{20} \\ &= \frac3{16} \end{aligned}

$$

よって極小値は $\frac3{16}$ である。

一方，端点での値は

$$ f(0)=\frac15,\qquad f(1)=\frac45

$$

である。したがって定義域 $0\leqq \omega\leqq 1$ における最大値は $\frac45$，最小値は $\frac3{16}$ である。

次に凹凸を調べる。

$$ \begin{aligned} f''(\omega) &= -2+6\sqrt{\omega} \end{aligned} $$

である。

$$ f''(\omega)=0

$$

より

$$ -2+6\sqrt{\omega}=0

$$

だから

$$ \sqrt{\omega}=\frac13

$$

すなわち

$$ \omega=\frac19

$$

である。

$0<\omega<\frac19$ では $f''(\omega)<0$ なので上に凸，$\frac19<\omega<1$ では $f''(\omega)>0$ なので下に凸である。

変曲点の $y$ 座標は

$$ \begin{aligned} f\left(\frac19\right) &= \frac15-\frac1{81} + \frac85\left(\frac19\right)^{5/2} \\ &= \frac15-\frac1{81} + \frac85\cdot\frac1{243} \\ &= \frac15-\frac1{81}+\frac8{1215} \\ &= \frac{236}{1215} \end{aligned}

$$

である。

よって変曲点は

$$ \left(\frac19,\frac{236}{1215}\right)

$$

である。

グラフは，点 $(0,\frac15)$ から始まり，最初は上に凸で減少し，$\omega=\frac19$ で変曲する。その後は下に凸のまま減少を続け，$\omega=\frac14$ で最小値 $\frac3{16}$ をとる。さらにその後は下に凸のまま増加し，点 $(1,\frac45)$ に至る。

最後に，曲線 $y=f(\omega)$，直線 $y=0$，直線 $\omega=0$，直線 $\omega=1$ で囲まれた部分の面積を求める。

$f(\omega)$ は絶対値の積分であるから $f(\omega)\geqq 0$ である。よって求める面積 $S$ は

$$ S=\int_0^1 f(\omega),d\omega

$$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} S &= \int_0^1 \left( \frac15-\omega^2+\frac85\omega^{5/2} \right) ,d\omega \\ &= \left[ \frac{\omega}{5} -\frac{\omega^3}{3} +\frac85\cdot\frac{2}{7}\omega^{7/2} \right]_0^1 \\ &= \frac15-\frac13+\frac{16}{35} \\ &= \frac{34}{105} \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題の中心は，絶対値の中身 $t^4-\omega^2$ の符号変化を正しく処理することである。$t$ について積分しているので，$\omega$ は定数として扱う。

符号が変わる点は $t=\sqrt{\omega}$ であり，ここで積分区間を分ければ通常の多項式積分に帰着できる。

増減は $f'(\omega)=2\omega(2\sqrt{\omega}-1)$ の符号で判定する。端点を含む閉区間で最大値・最小値を求めるため，極小値だけでなく $f(0)$，$f(1)$ も比較する必要がある。

凹凸は $f''(\omega)=-2+6\sqrt{\omega}$ の符号で決まり，$\omega=\frac19$ で上に凸から下に凸へ変わる。

答え

**(1)**

$$ f(\omega)=\frac15-\omega^2+\frac85\omega^{5/2} \qquad (0\leqq \omega\leqq 1)

$$

**(2)**

増減は，

$$ 0<\omega<\frac14

$$

で減少，

$$ \frac14<\omega<1

$$

で増加。

極小値は

$$ \omega=\frac14

$$

で

$$ f\left(\frac14\right)=\frac3{16}

$$

である。極大値はない。

凹凸は，

$$ 0<\omega<\frac19

$$

で上に凸，

$$ \frac19<\omega<1

$$

で下に凸。

変曲点は

$$ \left(\frac19,\frac{236}{1215}\right)

$$

である。

最大値は

$$ \frac45

$$

で，そのとき

$$ \omega=1

$$

である。

最小値は

$$ \frac3{16}

$$

で，そのとき

$$ \omega=\frac14

$$

である。

**(3)**

$$ \frac{34}{105}

$$