解説

方針・初手

積分関数

$$ F(x)=\int_0^x f(t),dt

$$

を明示的に求める。すると条件は $F(a)=a$ という固定点の問題になる。

また、(2)(3)では $f(x)$ が単調減少であることと、$F(a)=a$ を利用する。

解法1

まず

$$ F(x)=\int_0^x \frac{3}{e^t+1},dt

$$

を計算する。

$$ \int \frac{1}{e^t+1},dt =t-\log(e^t+1)

$$

であるから、

$$ F(x) =3\left[t-\log(e^t+1)\right]_0^x =3\left(x-\log(e^x+1)+\log 2\right)

$$

すなわち

$$ F(x)=3\log\frac{2e^x}{e^x+1}

$$

である。

(1)

$F(a)=a$ とおくと、

$$ 3\log\frac{2e^a}{e^a+1}=a

$$

である。ここで $y=e^a$ とおく。$a>0$ であるから $y>1$ である。

上の式は

$$ \left(\frac{2y}{y+1}\right)^3=y

$$

と同値である。したがって

$$ 8y^3=y(y+1)^3

$$

であり、$y>0$ より両辺を $y$ で割ると

$$ 8y^2=(y+1)^3

$$

となる。整理すると

$$ (y+1)^3-8y^2=0

$$

すなわち

$$ y^3-5y^2+3y+1=0

$$

である。因数分解して

$$ y^3-5y^2+3y+1=(y-1)(y^2-4y-1)

$$

となるから、

$$ y=1,\quad y=2+\sqrt5,\quad y=2-\sqrt5

$$

を得る。

このうち $y>1$ を満たすものは

$$ y=2+\sqrt5

$$

だけである。よって

$$ a=\log(2+\sqrt5)

$$

がただ1つ存在する。

また $2+\sqrt5>2$ であるから、

$$ a=\log(2+\sqrt5)>\log 2

$$

である。

(2)

$f(x)$ の導関数は

$$ f'(x)=-\frac{3e^x}{(e^x+1)^2}<0

$$

である。したがって $f(x)$ は単調減少である。

$b\leqq x\leqq a$ のとき、

$$ \int_0^a f(t),dt-\int_0^x f(t),dt =\int_x^a f(t),dt

$$

である。$f(t)>0$ だから

$$ 0\leqq \int_x^a f(t),dt

$$

が成り立つ。

また、$t\in[x,a]$ ならば $b\leqq x\leqq t$ である。$f$ は単調減少なので

$$ f(t)\leqq f(b)

$$

である。よって

$$ \int_x^a f(t),dt \leqq \int_x^a f(b),dt =f(b)(a-x)

$$

となる。

したがって

$$ 0\leqq \int_0^a f(t),dt-\int_0^x f(t),dt\leqq f(b)(a-x)

$$

が示された。

(3)

再び

$$ F(x)=\int_0^x f(t),dt

$$

とおく。このとき数列は

$$ x_{n+1}=F(x_n)

$$

で定められている。

まず

$$ h(x)=F(x)-x

$$

とおくと、

$$ h'(x)=F'(x)-1=f(x)-1 =\frac{3}{e^x+1}-1 =\frac{2-e^x}{e^x+1}

$$

である。したがって $x>\log 2$ において $h'(x)<0$ であり、$h(x)$ は単調減少する。

(1)より $h(a)=F(a)-a=0$ であるから、$\log2<x<a$ において

$$ h(x)>h(a)=0

$$

である。すなわち

$$ F(x)>x

$$

が成り立つ。

ここで $x_1=b$ であり、$\log2<b<a$ である。$b\leqq x_n\leqq a$ と仮定する。

$F$ は増加関数であるから、

$$ x_{n+1}=F(x_n)\leqq F(a)=a

$$

である。また $x_n<a$ ならば $F(x_n)>x_n\geqq b$ であり、$x_n=a$ ならば $x_{n+1}=a$ である。したがって

$$ b\leqq x_{n+1}\leqq a

$$

が成り立つ。

よって数学的帰納法により、すべての $n$ について

$$ b\leqq x_n\leqq a

$$

である。

次に、(2)を $x=x_n$ に適用する。$F(a)=a$ であるから、

$$ 0\leqq a-x_{n+1} =F(a)-F(x_n) \leqq f(b)(a-x_n)

$$

である。

ここで $b>\log2$ より $e^b>2$ なので、

$$ 0<f(b)=\frac{3}{e^b+1}<1

$$

である。$r=f(b)$ とおくと $0<r<1$ であり、

$$ 0\leqq a-x_{n+1}\leqq r(a-x_n)

$$

を得る。

これを繰り返すと、

$$ 0\leqq a-x_n\leqq r^{n-1}(a-b)

$$

である。$0<r<1$ より

$$ \lim_{n\to\infty}r^{n-1}(a-b)=0

$$

だから、はさみうちの原理により

$$ \lim_{n\to\infty}(a-x_n)=0

$$

である。

したがって

$$ \lim_{n\to\infty}x_n=a

$$

が示された。

解説

この問題の中心は、積分をそのまま扱うのではなく、$F(x)=\int_0^x f(t),dt$ という関数を導入して、$F(a)=a$ という固定点の問題に変換することである。

(1)では $F(x)$ を明示的に計算すれば、$a$ は代数方程式から求まる。(2)では $f$ が単調減少であることを使い、区間 $[x,a]$ 上の積分を長方形の面積で上から評価する。(3)では (2) の評価がそのまま収束の評価になっており、$f(b)<1$ が縮小率として働く。

答え

**(1)**

条件を満たす正の数 $a$ はただ1つ存在し、

$$ a=\log(2+\sqrt5)

$$

である。

**(2)**

$\log2<b<a$ かつ $b\leqq x\leqq a$ のとき、

$$ 0\leqq \int_0^a f(t),dt-\int_0^x f(t),dt\leqq f(b)(a-x)

$$

である。

**(3)**

数列 ${x_n}$ は

$$ \lim_{n\to\infty}x_n=a

$$

を満たす。