解説

方針・初手

逆関数であるから、まず (f(x)=\arcsin x) とみなして定義域と導関数を求める。

そのうえで (\int f(x),dx) を部分積分で計算し、さらに (g(x)=\int_0^x f(t),dt) を具体的に表す。最後の (\int_0^{1/2} g(x),dx) は、(g'(x)=f(x)) を使って部分積分すると整理しやすい。

解法1

(y=\sin \omega) ((0\le \omega<\pi/2)) の値域は

$$ 0\le y<1

$$

である。したがって逆関数 (y=f(x)) は

$$ f(x)=\arcsin x \qquad (0\le x<1)

$$

である。

よって

$$ \boxed{[サ]=0},\qquad \boxed{[シ]=1}

$$

である。

また、(\arcsin x) の導関数より

$$ f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

$$

なので

$$ \boxed{[ス]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}

$$

である。

次に (\int f(x),dx) を部分積分する。 (u=f(x)), (dv=dx) とすると

$$ \int f(x),dx =xf(x)-\int x f'(x),dx =xf(x)-\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}},dx

$$

となる。ここで

$$ \frac{d}{dx}\sqrt{1-x^2} =-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}

$$

であるから

$$ -\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}},dx =\sqrt{1-x^2}

$$

である。したがって

$$ \int f(x),dx=xf(x)+\sqrt{1-x^2}+C

$$

となるので

$$ \boxed{[セ]=\sqrt{1-x^2}}

$$

である。

次に

$$ g(x)=\int_0^x f(t),dt

$$

とおく。上で求めた原始関数を用いると

$$ g(x) =\Bigl[t f(t)+\sqrt{1-t^2}\Bigr]_0^x =x f(x)+\sqrt{1-x^2}-1

$$

となる。よって

$$ \boxed{[ソ]=\sqrt{1-x^2}-1}

$$

である。

したがって

$$ g\left(\frac12\right) =\frac12 f\left(\frac12\right)+\sqrt{1-\frac14}-1

$$

であり、(f(1/2)=\arcsin(1/2)=\pi/6) を用いると

$$ g\left(\frac12\right) =\frac12\cdot\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{2}-1 =\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{2}-1

$$

となる。ゆえに

$$ \boxed{[タ]=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{2}-1}

$$

である。

次に

$$ \int_0^{1/2}[ソ],dx =\int_0^{1/2}\left(\sqrt{1-x^2}-1\right),dx

$$

を求める。 (\int \sqrt{1-x^2},dx) の原始関数は

$$ \frac12\Bigl(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\Bigr)

$$

であるから、

$$ \int_0^{1/2}\sqrt{1-x^2},dx =\left[\frac12\Bigl(x\sqrt{1-x^2}+\arcsin x\Bigr)\right]_0^{1/2} =\frac{\sqrt3}{8}+\frac{\pi}{12}

$$

となる。よって

$$ \int_0^{1/2}[ソ],dx =\left(\frac{\sqrt3}{8}+\frac{\pi}{12}\right)-\frac12 =\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{8}-\frac12

$$

であり、

$$ \boxed{[チ]=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{8}-\frac12}

$$

である。

最後に

$$ I=\int_0^{1/2} g(x),dx

$$

とおく。部分積分を用いると

$$ I=\Bigl[xg(x)\Bigr]_0^{1/2}-\int_0^{1/2}xg'(x),dx =\frac12 g\left(\frac12\right)-\int_0^{1/2}x f(x),dx

$$

である。

一方、

$$ g(x)=x f(x)+(\sqrt{1-x^2}-1)

$$

より

$$ x f(x)=g(x)-(\sqrt{1-x^2}-1)

$$

だから

$$ \int_0^{1/2}x f(x),dx =\int_0^{1/2}g(x),dx-\int_0^{1/2}(\sqrt{1-x^2}-1),dx =I-[チ]

$$

である。これを先ほどの式に代入すると

$$ I=\frac12 g\left(\frac12\right)-(I-[チ])

$$

すなわち

$$ 2I=\frac12 g\left(\frac12\right)+[チ]

$$

である。よって

$$ I=\frac14 g\left(\frac12\right)+\frac12[チ]

$$

となる。ここに (g(1/2)=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\sqrt3}{2}-1), ([チ]=\dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\sqrt3}{8}-\dfrac12) を代入すると

$$ I =\frac14\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{2}-1\right) +\frac12\left(\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{8}-\frac12\right)

$$

$$ =\frac{\pi}{16}+\frac{3\sqrt3}{16}-\frac12

$$

となる。したがって

$$ \boxed{[ツ]=\frac{\pi+3\sqrt3-8}{16}}

$$

である。

解説

この問題の要点は、逆関数 (f(x)) をただちに (\arcsin x) と見抜くことである。

そのうえで、(\int \arcsin x,dx) を部分積分で処理すると (g(x)=\int_0^x f(t),dt) もすぐに具体化できる。最後の (\int_0^{1/2}g(x),dx) は、直接計算しようとすると煩雑になるが、部分積分して (g'(x)=f(x)) を使うと、すでに求めた (g(1/2)) と (\int_0^{1/2}[ソ],dx) に帰着できる点が重要である。

答え

**(1)**

$$ [サ]=0,\qquad [シ]=1,\qquad [ス]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\qquad [セ]=\sqrt{1-x^2}

$$

**(2)**

$$ [ソ]=\sqrt{1-x^2}-1

$$

$$ [タ]=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{2}-1

$$

$$ [チ]=\frac{\pi}{12}+\frac{\sqrt3}{8}-\frac12

$$

$$ [ツ]=\frac{\pi+3\sqrt3-8}{16}

$$