基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題240 解説
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解説
方針・初手
被積分関数は $x\sec^2 x$ であり、$\sec^2 x$ は $\tan x$ の導関数である。
したがって、部分積分
$$ \int x\sec^2 x,dx
$$
を用いるのが自然である。
解法1
求める積分を
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x}{\cos^2 x},dx =\int_0^{\frac{\pi}{4}}x\sec^2 x,dx
$$
とおく。
ここで部分積分を用いる。 $u=x,\ dv=\sec^2 x,dx$ とすると、
$$ du=dx,\quad v=\tan x
$$
であるから、
$$ I=\left[x\tan x\right]_0^{\frac{\pi}{4}}-\int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan x,dx
$$
となる。
まず、第1項は
$$ \left[x\tan x\right]_0^{\frac{\pi}{4}} =\frac{\pi}{4}\tan\frac{\pi}{4}-0\cdot\tan0 =\frac{\pi}{4}
$$
である。
次に、
$$ \int \tan x,dx =\int \frac{\sin x}{\cos x},dx =-\log(\cos x)
$$
より、
$$ \int_0^{\frac{\pi}{4}}\tan x,dx =\left[-\log(\cos x)\right]_0^{\frac{\pi}{4}} =-\log\frac{\sqrt2}{2}+ \log1 =\log\sqrt2
$$
となる。
したがって、
$$ I=\frac{\pi}{4}-\log\sqrt2
$$
である。
さらに $\log\sqrt2=\dfrac12\log2$ であるから、
$$ I=\frac{\pi}{4}-\frac12\log2
$$
とも書ける。
解説
$\dfrac{1}{\cos^2 x}$ を見たら、$\tan x$ の導関数であることに着目するのが基本である。
本問では $x$ が掛かっているため、そのまま積分するのではなく、$x$ を微分して簡単にし、$\sec^2 x$ を積分して $\tan x$ にする部分積分が最短である。
また、
$$ \int \tan x,dx=-\log(\cos x)
$$
は頻出公式である。
答え
$$ \int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x}{\cos^2 x},dx =\frac{\pi}{4}-\log\sqrt2 =\frac{\pi}{4}-\frac12\log2
$$