基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題241 解説
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解説
方針・初手
被積分関数は
$$ \frac{1}{\cos x}=\sec x
$$
であり，そのままでは原始関数が見えにくい。そこで，$\sec x+\tan x$ の導関数に注目して，分子分母に $\sec x+\tan x$ を掛ける形に変形するのが基本である。
解法1
求める積分を
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{\cos x}
$$
とする。
ここで，分子分母に $\dfrac{1}{\cos x}+\tan x$ を掛けると，
$$ \frac{1}{\cos x} =\frac{\left(\frac{1}{\cos x}+\tan x\right)}{\frac{1}{\cos x}+\tan x} \cdot \frac{1}{\cos x} =\frac{\sec^2 x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}
$$
となる。
したがって，
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\sec^2 x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x},dx
$$
である。
ここで
$$ \frac{d}{dx}(\sec x+\tan x)=\sec x\tan x+\sec^2 x
$$
であるから，
$$ I=\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{(\sec x+\tan x)'}{\sec x+\tan x},dx =\left[\log|\sec x+\tan x|\right]_0^{\frac{\pi}{4}}
$$
となる。
あとは端点での値を代入すればよい。
$x=\dfrac{\pi}{4}$ のとき，
$$ \sec \frac{\pi}{4}=\sqrt{2},\qquad \tan \frac{\pi}{4}=1
$$
より，
$$ \sec \frac{\pi}{4}+\tan \frac{\pi}{4}=\sqrt{2}+1
$$
である。
また，$x=0$ のとき，
$$ \sec 0+\tan 0=1+0=1
$$
である。
よって，
$$ I=\log(\sqrt{2}+1)-\log 1=\log(\sqrt{2}+1)
$$
となる。
解説
$\displaystyle \int \sec x,dx$ は頻出の基本積分であり，
$$ \sec x=\frac{\sec^2 x+\sec x\tan x}{\sec x+\tan x}
$$
と変形して対数微分型にもっていくのが定石である。
途中で $\log|\sec x+\tan x|$ が現れるが，この問題では $0\le x\le \dfrac{\pi}{4}$ で $\sec x+\tan x>0$ なので，絶対値を外してそのまま計算してよい。
答え
$$ \log(\sqrt{2}+1)
$$