解説

方針・初手

体積は回転体の公式から積分で表し、$t=\log x$ とおくことで

$$ V(n)=\pi\int_0^1 t^{2n}e^{-t},dt

$$

に帰着させる。あとは、(1) の不等式をこの積分に代入して上から評価し、(3) では下からの評価 $e^{-t}\geq 1/e$ と合わせてはさみうちを行う。

解法1

**(1)**

関数

$$ g(t)=1+\left(\frac{1}{e}-1\right)t-e^{-t}

$$

を考える。$0\leq t\leq 1$ において

$$ g''(t)=-e^{-t}<0

$$

であるから、$g(t)$ は上に凸、すなわちグラフは両端を結ぶ弦の上側にある。

また、

$$ g(0)=1-1=0

$$

であり、

$$ g(1)=1+\left(\frac{1}{e}-1\right)-\frac{1}{e}=0

$$

である。

したがって、$0\leq t\leq 1$ において

$$ g(t)\geq 0

$$

が成り立つ。よって

$$ 1+\left(\frac{1}{e}-1\right)t-e^{-t}\geq 0

$$

すなわち

$$ e^{-t}\leq 1+\left(\frac{1}{e}-1\right)t

$$

が示された。

**(2)**

回転体の体積は

$$ V(n)=\pi\int_1^e \left(\frac{(\log x)^n}{x}\right)^2,dx

$$

である。したがって

$$ V(n)=\pi\int_1^e \frac{(\log x)^{2n}}{x^2},dx

$$

となる。

ここで

$$ t=\log x

$$

とおくと、

$$ x=e^t,\qquad dx=e^t,dt

$$

である。また、$x=1$ のとき $t=0$、$x=e$ のとき $t=1$ である。よって

$$ \frac{dx}{x^2}=\frac{e^t,dt}{e^{2t}}=e^{-t},dt

$$

だから、

$$ V(n)=\pi\int_0^1 t^{2n}e^{-t},dt

$$

となる。

(1) より、$0\leq t\leq 1$ で

$$ e^{-t}\leq 1+\left(\frac{1}{e}-1\right)t

$$

が成り立つ。これを用いると、

$$ V(n)\leq \pi\int_0^1 t^{2n}\left\{1+\left(\frac{1}{e}-1\right)t\right\},dt

$$

である。

右辺を計算すると、

$$ \begin{aligned} V(n) &\leq \pi\left\{\int_0^1 t^{2n},dt+\left(\frac{1}{e}-1\right)\int_0^1 t^{2n+1},dt\right\} \\ &=\pi\left\{\frac{1}{2n+1}+\left(\frac{1}{e}-1\right)\frac{1}{2n+2}\right\}. \end{aligned}

$$

ここで中括弧内を整理する。

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2n+1}+\left(\frac{1}{e}-1\right)\frac{1}{2n+2} &=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+2}+\frac{1}{e(2n+2)} \\ &=\frac{1}{(2n+1)(2n+2)}+\frac{1}{e(2n+2)} \\ &=\frac{1}{2n+2}\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{e}\right). \end{aligned}

$$

したがって

$$ V(n)\leq \frac{\pi}{2n+2}\left(\frac{1}{e}+\frac{1}{2n+1}\right)

$$

が示された。

**(3)**

(2) で得た表示

$$ V(n)=\pi\int_0^1 t^{2n}e^{-t},dt

$$

を用いる。

まず、$0\leq t\leq 1$ では

$$ e^{-t}\geq \frac{1}{e}

$$

であるから、

$$ V(n)\geq \pi\int_0^1 t^{2n}\cdot \frac{1}{e},dt

$$

となる。よって

$$ V(n)\geq \frac{\pi}{e}\cdot \frac{1}{2n+1}

$$

である。両辺に $n$ をかけると、

$$ nV(n)\geq \frac{\pi n}{e(2n+1)}

$$

となる。

一方、(2) より

$$ V(n)\leq \frac{\pi}{2n+2}\left(\frac{1}{e}+\frac{1}{2n+1}\right)

$$

であるから、

$$ nV(n)\leq \frac{\pi n}{2n+2}\left(\frac{1}{e}+\frac{1}{2n+1}\right)

$$

である。

ここで、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\pi n}{e(2n+1)}=\frac{\pi}{2e}

$$

であり、また

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\pi n}{2n+2}\left(\frac{1}{e}+\frac{1}{2n+1}\right)=\frac{\pi}{2e}

$$

である。

したがって、はさみうちの原理より

$$ \lim_{n\to\infty} nV(n)=\frac{\pi}{2e}

$$

である。

解説

この問題の中心は、回転体の体積を直接扱うのではなく、$t=\log x$ によって積分区間を $[0,1]$ に変換する点である。すると体積は

$$ V(n)=\pi\int_0^1 t^{2n}e^{-t},dt

$$

という形になり、(1) の不等式をそのまま使える。

(2) の上からの評価は、$e^{-t}$ を一次関数で押さえることで積分を簡単に計算できる形に変える処理である。

(3) では、$t^{2n}$ が $t=1$ 付近に集中するため、$e^{-t}$ は極限的に $e^{-1}$ と見なせる。その直感を厳密にするために、下からは $e^{-t}\geq 1/e$、上からは (2) の評価を用いてはさみうちを行う。

答え

**(1)**

$$ 0\leq t\leq 1

$$

において

$$ e^{-t}\leq 1+\left(\frac{1}{e}-1\right)t

$$

が成り立つ。

**(2)**

$$ V(n)\leq \frac{\pi}{2n+2}\left(\frac{1}{e}+\frac{1}{2n+1}\right)

$$

が成り立つ。

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}nV(n)=\frac{\pi}{2e}

$$