解説

方針・初手

共通接線をもつ共有点では、関数値が一致するだけでなく導関数の値も一致する。したがって、$y=e^{-x}$ と $y=k\sin x$ が接する条件を一般の定数 $k$ について立てる。

その後、得られた接点の候補を $a>b$ という条件によって、$a,b,p,q$ に対応させる。面積は、区間ごとに上側の曲線と下側の曲線を確認して積分で求める。

解法1

**(1)**

方程式

$$ \sin x+\cos x=0

$$

を解く。これは

$$ \sin x=-\cos x

$$

であり、$\cos x=0$ のときは成り立たないので、$\cos x\neq 0$ として割ると

$$ \tan x=-1

$$

である。

$0\leqq x\leqq 2\pi$ において、$\tan x=-1$ となるのは第2象限と第4象限なので、

$$ x=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}

$$

である。

**(2)**

$y=e^{-x}$ と $y=k\sin x$ が $x=t$ で接するとする。このとき、関数値と導関数がともに一致するので、

$$ e^{-t}=k\sin t

$$

かつ

$$ -e^{-t}=k\cos t

$$

である。

第1式で第2式を割ると、

$$ \frac{-e^{-t}}{e^{-t}}=\frac{k\cos t}{k\sin t}

$$

より、

$$ -1=\frac{\cos t}{\sin t}

$$

である。したがって、

$$ \sin t+\cos t=0

$$

となる。

(1)より、接点の $x$ 座標は

$$ t=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}

$$

のいずれかである。

まず $t=\dfrac{3\pi}{4}$ のとき、

$$ \sin \frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}

$$

であるから、

$$ k=\frac{e^{-3\pi/4}}{\sin \frac{3\pi}{4}} =\sqrt{2}e^{-3\pi/4}

$$

である。

次に $t=\dfrac{7\pi}{4}$ のとき、

$$ \sin \frac{7\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}

$$

であるから、

$$ k=\frac{e^{-7\pi/4}}{\sin \frac{7\pi}{4}} =-\sqrt{2}e^{-7\pi/4}

$$

である。

ここで

$$ \sqrt{2}e^{-3\pi/4}>-\sqrt{2}e^{-7\pi/4}

$$

であり、問題の条件は $a>b$ である。よって、

$$ a=\sqrt{2}e^{-3\pi/4},\qquad b=-\sqrt{2}e^{-7\pi/4}

$$

である。

したがって、曲線 $C,D$ の接点 $P$ の $x$ 座標は

$$ p=\frac{3\pi}{4}

$$

であり、曲線 $C,E$ の接点 $Q$ の $x$ 座標は

$$ q=\frac{7\pi}{4}

$$

である。

**(3)**

求める図形は、$0\leqq x\leqq p$ では $x$ 軸と曲線 $D$ の間、$p\leqq x\leqq \pi$ では $x$ 軸と曲線 $C$ の間、$\pi\leqq x\leqq q$ では曲線 $E$ と曲線 $C$ の間にある。

したがって面積を $S$ とすると、

$$ S=\int_0^p a\sin x,dx+\int_p^\pi e^{-x},dx+\int_\pi^q {e^{-x}-b\sin x},dx

$$

である。これをまとめると、

$$ S=\int_0^p a\sin x,dx+\int_p^q e^{-x},dx-\int_\pi^q b\sin x,dx

$$

となる。

まず、

$$ \int_0^p a\sin x,dx =a[-\cos x]_0^p =a(1-\cos p)

$$

である。$p=\dfrac{3\pi}{4}$ より、

$$ \cos p=-\frac{\sqrt{2}}{2}

$$

なので、

$$ a(1-\cos p) =\sqrt{2}e^{-3\pi/4}\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =(\sqrt{2}+1)e^{-3\pi/4}

$$

である。

次に、

$$ \int_p^q e^{-x},dx =[-e^{-x}]_p^q =e^{-p}-e^{-q} =e^{-3\pi/4}-e^{-7\pi/4}

$$

である。

さらに、

$$ \int_\pi^q b\sin x,dx =b[-\cos x]_\pi^q =b(-\cos q+\cos \pi)

$$

である。$q=\dfrac{7\pi}{4}$ より、

$$ \cos q=\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \cos\pi=-1

$$

だから、

$$ -\cos q+\cos\pi =-\frac{\sqrt{2}}{2}-1

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \int_\pi^q b\sin x,dx &= \left(-\sqrt{2}e^{-7\pi/4}\right) \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-1\right) =(1+\sqrt{2})e^{-7\pi/4} \end{aligned} $$

である。

以上より、

$$ \begin{aligned} S &=(\sqrt{2}+1)e^{-3\pi/4} +\left(e^{-3\pi/4}-e^{-7\pi/4}\right) -(1+\sqrt{2})e^{-7\pi/4} \\ &=(\sqrt{2}+2)e^{-3\pi/4}-(\sqrt{2}+2)e^{-7\pi/4} \\ &=(\sqrt{2}+2)\left(e^{-3\pi/4}-e^{-7\pi/4}\right) \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題の中心は、接する条件を「関数値の一致」と「導関数の一致」の2条件で表すことである。

$y=e^{-x}$ と $y=k\sin x$ が接するなら、

$$ e^{-x}=k\sin x,\qquad -e^{-x}=k\cos x

$$

が同時に成り立つ。この2式を割ることで $k$ を消去でき、接点の $x$ 座標が

$$ \sin x+\cos x=0

$$

に帰着される。

面積計算では、$x=\pi$ を境に下側の境界が変わる点に注意する。$0\leqq x\leqq \pi$ では下側が $x$ 軸であるが、$\pi\leqq x\leqq q$ では下側が曲線 $E$ になる。そのため、単に上側の曲線を積分するのではなく、最後の区間では $e^{-x}-b\sin x$ を積分する必要がある。

答え

**(1)**

$$ x=\frac{3\pi}{4},\frac{7\pi}{4}

$$

**(2)**

$$ a=\sqrt{2}e^{-3\pi/4},\qquad b=-\sqrt{2}e^{-7\pi/4}

$$

$$ p=\frac{3\pi}{4},\qquad q=\frac{7\pi}{4}

$$

**(3)**

$$ (\sqrt{2}+2)\left(e^{-3\pi/4}-e^{-7\pi/4}\right)

$$