解説

方針・初手

曲線は $y=|\cos x-\sin t|$ であるから，面積 $f(t)$ は

$$ f(t)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}|\cos x-\sin t|,dx

$$

で求められる。

絶対値を外すために，まず $\cos x-\sin t=0$ となる $x$ を求める。$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $\cos x$ は単調減少するので，交点はただ1つである。

解法1

$x$ 軸との共有点は $y=0$ となる点であるから，

$$ |\cos x-\sin t|=0

$$

すなわち

$$ \cos x=\sin t

$$

を満たす $x$ を求めればよい。

ここで

$$ \sin t=\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)

$$

であり，$0<t<\dfrac{\pi}{2}$ より $\dfrac{\pi}{2}-t$ も $0$ と $\dfrac{\pi}{2}$ の間にある。したがって，$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ における共有点の $x$ 座標は

$$ x=\frac{\pi}{2}-t

$$

である。

特に $t=\dfrac{\pi}{6}$ のときは，

$$ x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}

$$

である。

次に $t=\dfrac{\pi}{6}$ のときの面積を求める。このとき $\sin t=\dfrac{1}{2}$ であり，$x=\dfrac{\pi}{3}$ で符号が変わる。

$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{3}$ では $\cos x\geqq \dfrac{1}{2}$，$\dfrac{\pi}{3}\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $\cos x\leqq \dfrac{1}{2}$ であるから，

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{6}\right) &=\int_0^{\frac{\pi}{3}}\left(\cos x-\frac{1}{2}\right),dx +\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{2}-\cos x\right),dx. \end{aligned}

$$

それぞれ計算すると，

$$ \int_0^{\frac{\pi}{3}}\left(\cos x-\frac{1}{2}\right),dx =\left[\sin x-\frac{x}{2}\right]_0^{\frac{\pi}{3}} =\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6}

$$

であり，

$$ \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{2}-\cos x\right),dx =\left[\frac{x}{2}-\sin x\right]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{12}-1+\frac{\sqrt{3}}{2}

$$

である。よって

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{6}\right) &= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6}\right) + \left(\frac{\pi}{12}-1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) &= \sqrt{3}-1-\frac{\pi}{12} \end{aligned} $$

となる。

一般の $t$ について考える。共有点の $x$ 座標は

$$ x=\frac{\pi}{2}-t

$$

である。

$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}-t$ では $\cos x\geqq \sin t$，$\dfrac{\pi}{2}-t\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $\cos x\leqq \sin t$ である。したがって，

$$ \begin{aligned} f(t) &=\int_0^{\frac{\pi}{2}-t}(\cos x-\sin t),dx +\int_{\frac{\pi}{2}-t}^{\frac{\pi}{2}}(\sin t-\cos x),dx. \end{aligned}

$$

第1項は

$$ \begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}-t}(\cos x-\sin t),dx &=\left[\sin x-x\sin t\right]_0^{\frac{\pi}{2}-t} \\ &=\cos t-\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\sin t \end{aligned}

$$

である。

第2項は

$$ \begin{aligned} \int_{\frac{\pi}{2}-t}^{\frac{\pi}{2}}(\sin t-\cos x),dx &=\left[x\sin t-\sin x\right]_{\frac{\pi}{2}-t}^{\frac{\pi}{2}} \\ &=t\sin t-1+\cos t \end{aligned}

$$

である。

よって

$$ \begin{aligned} f(t) &=\cos t-\left(\frac{\pi}{2}-t\right)\sin t+t\sin t-1+\cos t \\ &=2\cos t-1+\left(2t-\frac{\pi}{2}\right)\sin t. \end{aligned}

$$

したがって

$$ f(t)=2\cos t-1+\left(2t-\frac{\pi}{2}\right)\sin t

$$

である。

最後に増減を調べる。$f(t)$ を微分すると，

$$ \begin{aligned} f'(t) &=-2\sin t+2\sin t+\left(2t-\frac{\pi}{2}\right)\cos t \\ &=\left(2t-\frac{\pi}{2}\right)\cos t. \end{aligned}

$$

$0<t<\dfrac{\pi}{2}$ では $\cos t>0$ であるから，$f'(t)$ の符号は $2t-\dfrac{\pi}{2}$ の符号で決まる。

すなわち，

$$ \begin{cases} f'(t)<0 & \left(0<t<\dfrac{\pi}{4}\right),\\ f'(t)=0 & \left(t=\dfrac{\pi}{4}\right),\\ f'(t)>0 & \left(\dfrac{\pi}{4}<t<\dfrac{\pi}{2}\right) \end{cases}

$$

である。

増減表は次のようになる。

$$ \begin{array}{c|ccc} t & 0 & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{2} \\ \hline f'(t) & - & 0 & + \\ \hline f(t) & \searrow & \sqrt{2}-1 & \nearrow \end{array}

$$

したがって，$f(t)$ は $t=\dfrac{\pi}{4}$ で最小となる。その値は

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{\pi}{4}\right) &= 2\cos\frac{\pi}{4}-1+\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}\right)\sin\frac{\pi}{4} \\ \sqrt{2}-1 \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は，絶対値の中身 $\cos x-\sin t$ の符号がどこで変わるかを正しく見ることである。

$0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $\cos x$ が単調減少するため，$\cos x=\sin t$ の解はただ1つであり，その位置は

$$ x=\frac{\pi}{2}-t

$$

である。

この点を境に絶対値を外して積分すれば，面積 $f(t)$ が求まる。増減は，得られた $f(t)$ を微分すると

$$ f'(t)=\left(2t-\frac{\pi}{2}\right)\cos t

$$

と簡単な形になるため，$t=\dfrac{\pi}{4}$ を境に減少から増加へ変わることが分かる。

答え

**(1)**

$$ x=\frac{\pi}{3}

$$

**(2)**

$$ f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt{3}-1-\frac{\pi}{12}

$$

**(3)**

$$ x=\frac{\pi}{2}-t

$$

**(4)**

$$ f(t)=2\cos t-1+\left(2t-\frac{\pi}{2}\right)\sin t

$$

**(5)**

$$ \begin{array}{c|ccc} t & 0 & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{2} \\ \hline f'(t) & - & 0 & + \\ \hline f(t) & \searrow & \sqrt{2}-1 & \nearrow \end{array}

$$

最小値は

$$ \sqrt{2}-1

$$

である。