解説

方針・初手

床関数を含む和であるが，

$$ \sqrt{2n^2-k^2}=n\sqrt{2-\left(\frac{k}{n}\right)^2}

$$

であるから，各項は 「$f(x)=\sqrt{2-x^2}$ のリーマン和」に床関数による誤差が入ったものとみなせる。

したがって，まず床関数を外した和との差が $0$ に収束することを示し，そのあと対応する定積分を計算する。

解法1

$f(x)=\sqrt{2-x^2}$ とおくと，

$$ \begin{aligned} \left[\sqrt{2n^2-k^2}\right] &= \left[n,f\left(\frac{k}{n}\right)\right] \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} a_n &= \sum_{k=1}^n \frac{\left[n,f\left(\frac{k}{n}\right)\right]}{n^2}. \end{aligned} $$

ここで任意の実数 $t$ に対して

$$ t-1<[t]\le t

$$

が成り立つので，

$$ n,f\left(\frac{k}{n}\right)-1 < \left[n,f\left(\frac{k}{n}\right)\right] \le n,f\left(\frac{k}{n}\right)

$$

となる。これを $n^2$ で割ると，

$$ \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)-\frac{1}{n^2} < \frac{\left[n,f\left(\frac{k}{n}\right)\right]}{n^2} \le \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right).

$$

これを $k=1,2,\dots,n$ について加えると，

$$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right)-\frac{1}{n} < a_n \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right).

$$

したがって

$$ \left| a_n-\sum_{k=1}^n \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right) \right| \le \frac{1}{n}\to 0 \qquad (n\to\infty).

$$

よって $a_n$ と

$$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{n}\sqrt{2-\left(\frac{k}{n}\right)^2}

$$

は同じ極限をもつ。これは $f(x)=\sqrt{2-x^2}$ の $[0,1]$ におけるリーマン和であるから，

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} a_n &= \int_0^1 \sqrt{2-x^2},dx. \end{aligned} $$

あとはこの積分を計算すればよい。公式

$$ \begin{aligned} \int \sqrt{a^2-x^2},dx &= \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a} + C \end{aligned} $$

を $a=\sqrt{2}$ に適用すると，

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \sqrt{2-x^2},dx &= \left[ \frac{x}{2}\sqrt{2-x^2} + \arcsin\frac{x}{\sqrt{2}} \right]_0^1. \end{aligned} $$

したがって，

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \sqrt{2-x^2},dx &= \frac{1}{2} + \arcsin\frac{1}{\sqrt{2}} &= \frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}. \end{aligned} $$

ゆえに

$$ \lim_{n\to\infty} a_n=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}.

$$

解説

本問の本質は，床関数の影響が各項につき $1$ 未満であるため，全体を $n^2$ で割って和をとると誤差が高々 $1/n$ になる点にある。したがって極限では床関数を無視でき，通常のリーマン和に帰着する。

また，

$$ y=\sqrt{2-x^2}

$$

は半径 $\sqrt{2}$ の上半円であるから，定積分は図形的にも求められる。区間 $[0,1]$ での面積は，扇形と三角形の面積の和として

$$ \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2}

$$

になる。

答え

$$ \lim_{n\to\infty} a_n=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}.

$$