解説

方針・初手

（1）は

$$ a_n=\frac{1}{n}\cdot \frac{2}{n}\cdots \frac{n}{n}

$$

と積の形で見ると、小さい因子が多数含まれていることから $0$ に近づくことが示せる。

（2）は隣り合う項の比をそのまま計算すればよい。

（3）は $n$ 乗根が付いているので、対数をとって和に直し、リーマン和として極限を求めるのが自然である。

解法1

**(1)**

$a_n$ は

$$ a_n=\prod_{j=1}^{n}\frac{j}{n}

$$

である。

この積のうち、$j=1,2,\dots,\lfloor n/2\rfloor$ に対しては

$$ \frac{j}{n}\leqq \frac{1}{2}

$$

であり、残りの因子はすべて $1$ 以下である。したがって

$$ 0<a_n\leqq \left(\frac{1}{2}\right)^{\lfloor n/2\rfloor}

$$

となる。

右辺は $n\to\infty$ のとき $0$ に収束するから、はさみうちの原理より

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=0

$$

である。

**(2)**

直接計算すると、

$$ \begin{aligned} \frac{a_n}{a_{n+1}} &= \frac{\dfrac{n!}{n^n}}{\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}} \\ &= \frac{n!(n+1)^{n+1}}{n^n(n+1)!} \\ &= \frac{(n+1)^n}{n^n} \\ &= \left(1+\frac{1}{n}\right)^n \end{aligned}

$$

である。

よって、よく知られた極限

$$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e

$$

より、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=e

$$

である。

**(3)**

$k\geqq 2$ を固定する。求める極限を

$$ L_n=\left(\frac{a_{kn}}{a_n}\right)^{1/n}

$$

とおく。$a_n>0$ であるから、対数をとってよい。

まず、

$$ \frac{a_{kn}}{a_n} = \frac{\dfrac{(kn)!}{(kn)^{kn}}}{\dfrac{n!}{n^n}} = \frac{(kn)!}{n!}\cdot \frac{n^n}{(kn)^{kn}}

$$

であるから、

$$ \log L_n = \frac{1}{n}\log\frac{a_{kn}}{a_n} = \frac{1}{n} \left( \log\frac{(kn)!}{n!} +n\log n-kn\log(kn) \right)

$$

となる。ここで

$$ \log\frac{(kn)!}{n!} = \sum_{j=n+1}^{kn}\log j

$$

であるから、

$$ \log L_n = \frac{1}{n}\sum_{j=n+1}^{kn}\log\frac{j}{n} -k\log k

$$

と変形できる。

ここで

$$ \frac{1}{n}\sum_{j=n+1}^{kn}\log\frac{j}{n} = \sum_{j=n+1}^{kn}\log\frac{j}{n}\cdot \frac{1}{n}

$$

は、区間 $[1,k]$ における $\log x$ のリーマン和である。したがって

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{j=n+1}^{kn}\log\frac{j}{n} = \int_{1}^{k}\log x\,dx

$$

である。

この積分を計算すると、

$$ \int_{1}^{k}\log x\,dx = \left[x\log x-x\right]_{1}^{k} = k\log k-k+1

$$

であるから、

$$ \lim_{n\to\infty}\log L_n = (k\log k-k+1)-k\log k = 1-k

$$

となる。よって指数をとれば、

$$ \lim_{n\to\infty}L_n=e^{1-k}

$$

すなわち

$$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{kn}}{a_n}\right)^{1/n}=e^{1-k}

$$

である。

解説

この問題の要点は、階乗をそのまま扱うのではなく、数列の形を見やすく変形することである。

（1）では $a_n$ を積の形に直すと、少なくとも半分の因子が $\dfrac12$ 以下であることが分かり、一気に $0$ への収束が示せる。

（2）は典型的な比の計算であり、$\left(1+\dfrac1n\right)^n$ に帰着できるかどうかがポイントである。

（3）は $n$ 乗根が付いているので、対数をとって「和を $n$ で割った形」に直すのが本質である。そこからリーマン和に見抜ければ、極限は積分で処理できる。

答え

**(1)**

$$ \lim_{n\to\infty}a_n=0

$$

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{a_{n+1}}=e

$$

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{kn}}{a_n}\right)^{1/n}=e^{1-k}

$$