基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題247 解説
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解説
方針・初手
(1)の基本不等式 $1+x\leq e^x$ を先に示し，そこから $x$ に $-x^2$ や $x^2$ を代入して(イ)を導く。
(2)は(1)で得た評価
$$ 1-x^2\leq e^{-x^2}\leq \frac{1}{1+x^2}
$$
を $0$ から $1$ まで積分する。両端の積分値がそれぞれ $\dfrac{2}{3}$ と $\dfrac{\pi}{4}$ になる。
解法1
まず，すべての実数 $x$ に対して
$$ 1+x\leq e^x
$$
を示す。
関数
$$ f(x)=e^x-(1+x)
$$
を考える。このとき
$$ f'(x)=e^x-1
$$
である。
$e^x$ は単調増加であり，$e^0=1$ だから，
$$ \begin{cases} f'(x)<0 & (x<0),\\ f'(x)=0 & (x=0),\\ f'(x)>0 & (x>0) \end{cases}
$$
である。したがって，$f(x)$ は $x=0$ で最小値をとる。
また，
$$ f(0)=e^0-(1+0)=0
$$
であるから，すべての実数 $x$ に対して
$$ f(x)\geq 0
$$
すなわち
$$ 1+x\leq e^x
$$
が成り立つ。等号は $x=0$ のときに限る。
次に，この不等式を用いて(イ)を示す。
$1+x\leq e^x$ において，$x$ を $-x^2$ に置き換えると，$-x^2$ も実数であるから
$$ 1-x^2\leq e^{-x^2}
$$
を得る。
また，$1+x\leq e^x$ において，$x$ を $x^2$ に置き換えると
$$ 1+x^2\leq e^{x^2}
$$
である。ここで $1+x^2>0$ かつ $e^{x^2}>0$ であるから，両辺の逆数をとると不等号の向きが逆になり，
$$ \frac{1}{1+x^2}\geq e^{-x^2}
$$
すなわち
$$ e^{-x^2}\leq \frac{1}{1+x^2}
$$
を得る。
以上より，すべての実数 $x$ に対して
$$ 1-x^2\leq e^{-x^2}\leq \frac{1}{1+x^2}
$$
が成り立つ。
次に，(2)を示す。
(1)より，$0\leq x\leq 1$ において
$$ 1-x^2\leq e^{-x^2}\leq \frac{1}{1+x^2}
$$
である。さらに，$0<x\leq 1$ では等号は成り立たないので，
$$ 1-x^2< e^{-x^2}< \frac{1}{1+x^2}
$$
である。
よって，連続関数の積分の大小関係より，
$$ \int_0^1 (1-x^2),dx<\int_0^1 e^{-x^2},dx<\int_0^1 \frac{1}{1+x^2},dx
$$
である。
左辺を計算すると，
$$ \int_0^1 (1-x^2),dx =\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 =1-\frac{1}{3} =\frac{2}{3}
$$
である。
右辺は，
$$ \int_0^1 \frac{1}{1+x^2},dx =\left[\arctan x\right]_0^1 =\arctan 1-\arctan 0 =\frac{\pi}{4}
$$
である。
したがって，
$$ \frac{2}{3}<\int_0^1 e^{-x^2},dx<\frac{\pi}{4}
$$
が成り立つ。
解説
この問題の中心は，指数関数の基本評価
$$ 1+x\leq e^x
$$
である。この不等式は，$e^x$ の接線 $y=1+x$ がグラフの下側にあることを表している。高校数学では，微分して最小値を調べる方法で示すのが最も自然である。
(イ)では，単に $x$ を $-x^2$ や $x^2$ に置き換えるだけでよい。ただし，上側評価では逆数を取るため，両辺が正であることを確認する必要がある。
(2)では，$e^{-x^2}$ 自体の原始関数は高校範囲の初等関数では表せないため，直接積分しようとしない。代わりに，(1)で得た上下からの評価を積分するのが本質である。
答え
**(1)**
**(ア)**
すべての実数 $x$ に対して
$$ 1+x\leq e^x
$$
が成り立つ。
**(イ)**
すべての実数 $x$ に対して
$$ 1-x^2\leq e^{-x^2}\leq \frac{1}{1+x^2}
$$
が成り立つ。
**(2)**
$$ \frac{2}{3}<\int_0^1 e^{-x^2},dx<\frac{\pi}{4}
$$
が成り立つ。