解説

方針・初手

(1), (2) は $u=\dfrac{t}{n}$ とおくと、三角関数の基本不等式

$$ \sin u \leq u,\qquad \sin u \geq u-\frac{u^3}{6}

$$

を示す問題に帰着する。

(3) は (1), (2) に $t=x^2$ を代入し、$n\sin\dfrac{x^2}{n}$ を $x^2$ ではさみ込んで積分する。

解法1

まず (1) を示す。$u\geq 0$ に対して

$$ f(u)=u-\sin u

$$

とおく。このとき

$$ f'(u)=1-\cos u\geq 0

$$

である。また $f(0)=0$ であるから、$u\geq 0$ において

$$ f(u)\geq 0

$$

すなわち

$$ u-\sin u\geq 0

$$

が成り立つ。

ここで $u=\dfrac{t}{n}$ とおくと、$t\geq 0,\ n\in\mathbb{N}$ より $u\geq 0$ である。したがって

$$ \frac{t}{n}-\sin\frac{t}{n}\geq 0

$$

であり、両辺に $n>0$ をかけて

$$ t-n\sin\frac{t}{n}\geq 0

$$

を得る。よって (1) は示された。

次に (2) を示す。$u\geq 0$ に対して

$$ g(u)=\sin u-u+\frac{u^3}{6}

$$

とおく。このとき

$$ g'(u)=\cos u-1+\frac{u^2}{2}

$$

であり、さらに

$$ g''(u)=-\sin u+u=u-\sin u

$$

である。(1) で $n=1$ とした結果より、$u\geq 0$ では

$$ u-\sin u\geq 0

$$

だから

$$ g''(u)\geq 0

$$

である。

また

$$ g'(0)=0

$$

なので、$g'$ は $u\geq 0$ で単調増加し、

$$ g'(u)\geq 0

$$

となる。さらに

$$ g(0)=0

$$

であるから、$g$ も $u\geq 0$ で単調増加し、

$$ g(u)\geq 0

$$

となる。したがって

$$ \sin u-u+\frac{u^3}{6}\geq 0

$$

すなわち

$$ u-\sin u-\frac{u^3}{6}\leq 0

$$

が成り立つ。

ここで $u=\dfrac{t}{n}$ とおくと、

$$ \frac{t}{n}-\sin\frac{t}{n}-\frac{1}{6}\left(\frac{t}{n}\right)^3\leq 0

$$

である。両辺に $n>0$ をかけると

$$ t-n\sin\frac{t}{n}-\frac{t^3}{6n^2}\leq 0

$$

となる。よって (2) は示された。

最後に (3) を求める。(1), (2) に $t=x^2$ を代入すると、$x\geq 0$ に対して

$$ 0\leq x^2-n\sin\frac{x^2}{n}

$$

および

$$ x^2-n\sin\frac{x^2}{n}-\frac{x^6}{6n^2}\leq 0

$$

が成り立つ。これらより

$$ x^2-\frac{x^6}{6n^2}\leq n\sin\frac{x^2}{n}\leq x^2

$$

を得る。

$a>0$ であるから、$0\leq x\leq a$ 上で上の不等式を積分して

$$ \int_0^a\left(x^2-\frac{x^6}{6n^2}\right)dx \leq \int_0^a n\sin\frac{x^2}{n},dx \leq \int_0^a x^2,dx

$$

となる。

左辺と右辺を計算すると、

$$ \int_0^a x^2,dx=\frac{a^3}{3}

$$

であり、

$$ \begin{aligned} \int_0^a\left(x^2-\frac{x^6}{6n^2}\right)dx &= \frac{a^3}{3}-\frac{1}{6n^2}\cdot\frac{a^7}{7} \\ \frac{a^3}{3}-\frac{a^7}{42n^2} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \frac{a^3}{3}-\frac{a^7}{42n^2} \leq \int_0^a n\sin\frac{x^2}{n},dx \leq \frac{a^3}{3}

$$

が成り立つ。

ここで

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\left(\frac{a^3}{3}-\frac{a^7}{42n^2}\right) &= \frac{a^3}{3} \end{aligned} $$

であるから、はさみうちの原理により

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\int_0^a n\sin\frac{x^2}{n},dx &= \frac{a^3}{3} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、$\sin u$ の近似

$$ \sin u=u-\frac{u^3}{6}+\cdots

$$

を不等式として扱う点である。ただし、級数展開をそのまま使うのではなく、微分を用いて

$$ \sin u\leq u,\qquad \sin u\geq u-\frac{u^3}{6}

$$

を $u\geq 0$ で厳密に示すのが安全である。

(3) では、積分の中身を直接極限処理するよりも、(1), (2) から

$$ x^2-\frac{x^6}{6n^2}\leq n\sin\frac{x^2}{n}\leq x^2

$$

を作るのが自然である。誤差が $\dfrac{x^6}{6n^2}$ の形で評価できるため、区間 $[0,a]$ 上で積分しても誤差は $O\left(\dfrac{1}{n^2}\right)$ となり、極限では消える。

答え

**(1)**

$$ t-n\sin\frac{t}{n}\geq 0

$$

が成り立つ。

**(2)**

$$ t-n\sin\frac{t}{n}-\frac{t^3}{6n^2}\leq 0

$$

が成り立つ。

**(3)**

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\int_0^a n\sin\frac{x^2}{n},dx &= \frac{a^3}{3} \end{aligned} $$