解説

方針・初手

和を直接計算するのではなく、関数 $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ が単調減少であることを利用して、積分で上下から評価する。

整数部分を求めるには、和を $398$ 以上 $399$ 未満にはさめばよい。

解法1

求める和を

$$ S=\sum_{n=1}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}}

$$

とおく。

関数

$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}

$$

は $x>0$ で単調減少である。

まず上から評価する。$n\geqq 2$ のとき、区間 $[n-1,n]$ では $x\leqq n$ であるから、単調減少性より

$$ \frac{1}{\sqrt{x}}\geqq \frac{1}{\sqrt{n}}

$$

が成り立つ。したがって

$$ \int_{n-1}^{n}\frac{1}{\sqrt{x}},dx>\frac{1}{\sqrt{n}}

$$

である。これを $n=2,3,\dots,40000$ について足すと、

$$ \sum_{n=2}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}} < \int_1^{40000}\frac{1}{\sqrt{x}},dx

$$

となる。よって

$$ S =

1+\sum_{n=2}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}} < 1+\int_1^{40000}\frac{1}{\sqrt{x}},dx

$$

である。積分を計算すると、

$$ \begin{aligned} \int_1^{40000}\frac{1}{\sqrt{x}},dx &= \left[2\sqrt{x}\right]_1^{40000} \\ 2\cdot 200-2 \\ 398 \end{aligned} $$

だから、

$$ S<1+398=399

$$

を得る。

次に下から評価する。各 $n=1,2,\dots,40000$ について、区間 $[n,n+1]$ では $x\geqq n$ であるから、単調減少性より

$$ \frac{1}{\sqrt{x}}\leqq \frac{1}{\sqrt{n}}

$$

が成り立つ。したがって

$$ \int_n^{n+1}\frac{1}{\sqrt{x}},dx<\frac{1}{\sqrt{n}}

$$

である。これを $n=1,2,\dots,40000$ について足すと、

$$ \begin{aligned} \int_1^{40001}\frac{1}{\sqrt{x}},dx &< \sum_{n=1}^{40000}\frac{1}{\sqrt{n}} \\ &= S \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} S> \int_1^{40001}\frac{1}{\sqrt{x}},dx &= \left[2\sqrt{x}\right]_1^{40001} \\ 2\sqrt{40001}-2 \end{aligned} $$

である。ここで $\sqrt{40001}>200$ より、

$$ 2\sqrt{40001}-2>2\cdot 200-2=398

$$

となる。よって

$$ S>398

$$

である。

以上より、

$$ 398<S<399

$$

が成り立つ。

したがって $S$ の整数部分は $398$ である。

解説

この問題では、和を正確に求める必要はない。整数部分だけを求めるので、連続関数の積分で和を上下からはさむのが有効である。

特に $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ は単調減少なので、長方形近似の大小関係を使える。上からの評価では $n=1$ の項だけを分けることで、

$$ S<1+\int_1^{40000}\frac{1}{\sqrt{x}},dx=399

$$

という鋭い評価が得られる。

一方、下からは

$$ S>\int_1^{40001}\frac{1}{\sqrt{x}},dx>398

$$

と評価すればよい。

答え

$$ 398

$$