解説

方針・初手

領域は、中心 $O(0,0)$、半径 $1$ の円の外側で、中心 $A(t,0)$、半径 $\sqrt{1-t^2}$ の円の内側にある部分である。

まず2つの円の交点を求め、領域の面積を $t$ の関数として表す。その後、微分して最大となる $t$ を求める。

解法1

2つの境界円を

$$ C_1:x^2+y^2=1

$$

$$ C_2:(x-t)^2+y^2=1-t^2

$$

とする。

$0<t<1$ のとき、両式を連立する。$C_2$ を展開すると

$$ x^2-2tx+t^2+y^2=1-t^2

$$

である。ここで $x^2+y^2=1$ を代入すると

$$ 1-2tx+t^2=1-t^2

$$

より

$$ -2tx+2t^2=0

$$

となる。$t>0$ だから

$$ x=t

$$

である。したがって

$$ y^2=1-t^2

$$

より、交点は

$$ P(t,\sqrt{1-t^2}),\quad Q(t,-\sqrt{1-t^2})

$$

である。

ここで $A(t,0)$ は円 $C_2$ の中心であり、$PQ$ は円 $C_2$ の直径である。よって、求める領域は、円 $C_2$ の右半円部分から、円 $C_1$ の弦 $PQ$ の右側の円弧部分を取り除いた面積である。

まず、円 $C_2$ の右半円の面積は、半径が $\sqrt{1-t^2}$ であるから

$$ \frac{1}{2}\pi(1-t^2)

$$

である。

次に、円 $C_1$ において、点 $P,Q$ の偏角をそれぞれ $\alpha,-\alpha$ とおく。ただし

$$ \cos\alpha=t,\quad 0\leq \alpha\leq \frac{\pi}{2}

$$

であるから

$$ \alpha=\arccos t

$$

である。

弦 $PQ$ の右側の円弧部分の面積は、中心角 $2\alpha$ の扇形から三角形 $OPQ$ を引いたものである。

扇形の面積は

$$ \frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot 2\alpha=\alpha

$$

である。また、三角形 $OPQ$ は底辺 $PQ=2\sqrt{1-t^2}$、高さ $t$ であるから、その面積は

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1-t^2}\cdot t &= t\sqrt{1-t^2} \end{aligned} $$

である。

したがって、弦 $PQ$ の右側の円弧部分の面積は

$$ \begin{aligned} \alpha-t\sqrt{1-t^2} &= \arccos t-t\sqrt{1-t^2} \end{aligned} $$

である。

よって、連立不等式の表す領域の面積を $S(t)$ とすると

$$ S(t)=\frac{\pi}{2}(1-t^2)-\arccos t+t\sqrt{1-t^2}

$$

となる。

これを $0<t<1$ で微分する。

$$ \begin{aligned} S'(t) &=-\pi t+\frac{1}{\sqrt{1-t^2}} +\sqrt{1-t^2} -\frac{t^2}{\sqrt{1-t^2}} \\ &=-\pi t+\frac{1+1-2t^2}{\sqrt{1-t^2}} \\ &=-\pi t+2\sqrt{1-t^2} \end{aligned}

$$

したがって、最大となる候補は

$$ S'(t)=0

$$

を満たす $t$ である。

$$ 2\sqrt{1-t^2}=\pi t

$$

両辺は非負なので、両辺を2乗してよい。

$$ 4(1-t^2)=\pi^2t^2

$$

したがって

$$ 4=(\pi^2+4)t^2

$$

より

$$ t=\frac{2}{\sqrt{\pi^2+4}}

$$

である。

また

$$ S'(t)=2\sqrt{1-t^2}-\pi t

$$

は $t$ の増加に伴って減少し、$S'(0)=2>0$、$t\to 1-0$ で $S'(t)\to-\pi<0$ である。よってこの値で面積は最大となる。

なお、端点 $t=0,1$ では領域の面積はいずれも $0$ であるから、最大値は内部の点で達成される。

解説

この問題では、2つの円の位置関係を正確に見ることが重要である。

特に

$$ (t)^2+\left(\sqrt{1-t^2}\right)^2=1

$$

であるため、円 $C_2$ の中心 $A(t,0)$ は円 $C_1$ の内部にあり、交点を結ぶ弦 $PQ$ が円 $C_2$ の直径になる。このことに気づくと、面積を「小さい円の半円」から「単位円の円弧部分」を引く形で表せる。

計算上の山場は、面積関数

$$ S(t)=\frac{\pi}{2}(1-t^2)-\arccos t+t\sqrt{1-t^2}

$$

を正しく作ることである。微分するとかなり簡単に

$$ S'(t)=2\sqrt{1-t^2}-\pi t

$$

となるため、最大条件はすぐに求まる。

答え

$$ \boxed{t=\frac{2}{\sqrt{\pi^2+4}}}

$$