解説

方針・初手

まず

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}},\qquad \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}

$$

を用いて微分係数を求める。

そのうえで、$x=\sin t$ より $0\le x\le 1$ であり、$t$ の範囲によって $\cos t=\pm\sqrt{1-x^2}$ と書き分けると、曲線の上側・下側の枝が分かる。これにより概形と面積が整理しやすい。

解法1

**(1)**

$\dfrac{dy}{dx}$ および $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ を求める。

与えられた媒介変数表示は

$$ x=\sin t,\qquad y=(1+\cos t)\sin t \qquad (0\le t\le \pi)

$$

である。

まず $t$ で微分すると、

$$ \frac{dx}{dt}=\cos t

$$

であり、

$$ \frac{dy}{dt} =\frac{d}{dt}\bigl((1+\cos t)\sin t\bigr) =-\sin^2 t+(1+\cos t)\cos t

$$

したがって

$$ \frac{dy}{dt} =\cos t+\cos^2 t-\sin^2 t =\cos t+\cos 2t

$$

である。よって

$$ \frac{dy}{dx} =\frac{\cos t+\cos 2t}{\cos t} =\frac{(2\cos t-1)(1+\cos t)}{\cos t}

$$

となる。

次に $t$ で微分すると、

$$ \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) =\frac{d}{dt}\left(2\cos t+1-\sec t\right) =-2\sin t-\sec t\tan t

$$

であるから、

$$ \frac{d^2y}{dx^2} =\frac{-2\sin t-\sec t\tan t}{\cos t} ;.

$$

これを $\cos t,\sin t$ でまとめると、

$$ \frac{d^2y}{dx^2} =-\frac{\sin t,(2\cos^2 t+1)}{\cos^3 t}

$$

となる。

ただし $t=\dfrac{\pi}{2}$ では $\dfrac{dx}{dt}=0$ なので、$\dfrac{dy}{dx}$ は定義されず、この点では接線は垂直である。

**(2)**

$C$ の凹凸を調べ、概形を描く。

まず

$$ x=\sin t\ge 0,\qquad y=(1+\cos t)\sin t\ge 0

$$

より、曲線 $C$ は第1象限内にある。

さらに

$$ \frac{d^2y}{dx^2} =-\frac{\sin t,(2\cos^2 t+1)}{\cos^3 t}

$$

において、$0<t<\pi$ では $\sin t>0,\ 2\cos^2 t+1>0$ であるから、その符号は $-\cos^3 t$ の符号で決まる。したがって

• （i） $0<t<\dfrac{\pi}{2}$ では $\cos t>0$ より

$$ \frac{d^2y}{dx^2}<0 $$

すなわち上に凸である。

• （ii） $\dfrac{\pi}{2}<t<\pi$ では $\cos t<0$ より

$$ \frac{d^2y}{dx^2}>0 $$

すなわち下に凸である。

次に、概形を描くために要点を調べる。

端点は

$$ t=0,\pi \quad\Longrightarrow\quad (x,y)=(0,0)

$$

であり、途中で

$$ t=\frac{\pi}{2}\quad\Longrightarrow\quad (x,y)=(1,1)

$$

を通る。

また、接線の傾きは

$$ \frac{dy}{dx} =\frac{(2\cos t-1)(1+\cos t)}{\cos t}

$$

より、

• （iii） $t=0$ で

$$ \frac{dy}{dx}=2 $$

したがって原点から傾き $2$ で出る。

• （iv） $t=\dfrac{\pi}{2}$ で $\cos t=0$ なので、$(1,1)$ では垂直接線をもつ。

• （v） $t=\pi$ で

$$ \frac{dy}{dx}=0 $$

したがって原点へ $x$ 軸に接して戻る。

さらに、$0<t<\dfrac{\pi}{2}$ では $\cos t>0$ なので、$\dfrac{dy}{dx}=0$ は

$$ 2\cos t-1=0

$$

すなわち

$$ t=\frac{\pi}{3}

$$

で起こる。このとき

$$ x=\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2},\qquad y=\left(1+\cos\frac{\pi}{3}\right)\sin\frac{\pi}{3} =\frac{3\sqrt3}{4}

$$

であり、ここが上側の枝の極大点である。

したがって曲線 $C$ は、原点から出て上にふくらみながら進み、$\left(\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{3\sqrt3}{4}\right)$ で最大となったのち $(1,1)$ に至り、そこから下に折り返して原点へ戻る閉曲線である。

**(3)**

$C$ で囲まれる領域の面積 $S$ を求める。

$x=\sin t$ より $0\le x\le 1$ である。

• （vi） $0\le t\le \dfrac{\pi}{2}$ では $\cos t=\sqrt{1-x^2}$ なので

$$ y=x\bigl(1+\sqrt{1-x^2}\bigr)

$$

• （vii） $\dfrac{\pi}{2}\le t\le \pi$ では $\cos t=-\sqrt{1-x^2}$ なので

$$ y=x\bigl(1-\sqrt{1-x^2}\bigr)

$$

となる。

したがって、上側の枝と下側の枝の差を積分すれば面積 $S$ は

$$ S=\int_0^1\left[x\bigl(1+\sqrt{1-x^2}\bigr)-x\bigl(1-\sqrt{1-x^2}\bigr)\right]dx

$$

すなわち

$$ S=2\int_0^1 x\sqrt{1-x^2},dx

$$

である。

ここで

$$ u=1-x^2\qquad (du=-2x,dx)

$$

とおくと、

$$ S =2\int_0^1 x\sqrt{1-x^2},dx =\int_0^1 \sqrt{u},du

$$

ではなく、積分区間も含めて丁寧に変換すると、

$$ S =2\int_0^1 x\sqrt{1-x^2},dx =-\int_1^0 \sqrt{u},du =\int_0^1 \sqrt{u},du

$$

となる。よって

$$ S=\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_0^1=\frac{2}{3}

$$

である。

解説

この問題の要点は、媒介変数表示のまま微分すると $\dfrac{dy}{dx}$、$\dfrac{d^2y}{dx^2}$ が素直に求まることである。特に $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ の符号は $\cos t$ の符号だけで決まるので、$t=\dfrac{\pi}{2}$ を境に凹凸が切り替わることがすぐ分かる。

また、概形や面積では $x=\sin t$ を用いて $t$ を消去し、$\cos t=\pm\sqrt{1-x^2}$ と場合分けすると、曲線が上側の枝と下側の枝からなる閉曲線であることが明確になる。面積はこの2枝の差を積分するのが最も見通しがよい。

答え

**(1)**

$$ \frac{dy}{dx} =\frac{\cos t+\cos 2t}{\cos t} =\frac{(2\cos t-1)(1+\cos t)}{\cos t}

$$

$$ \frac{d^2y}{dx^2} =-\frac{\sin t,(2\cos^2 t+1)}{\cos^3 t}

$$

ただし $t=\dfrac{\pi}{2}$ では $\dfrac{dy}{dx}$ は定義されず、接線は垂直である。

**(2)**

$$ 0<t<\frac{\pi}{2}\ \Rightarrow\ \frac{d^2y}{dx^2}<0,\qquad \frac{\pi}{2}<t<\pi\ \Rightarrow\ \frac{d^2y}{dx^2}>0

$$

したがって、$(0,0)$ から出て上に凸の枝で $(1,1)$ に至り、そこで垂直接線をもち、その後は下に凸の枝で原点へ戻る閉曲線である。上側の枝の極大点は

$$ \left(\frac{\sqrt3}{2},\frac{3\sqrt3}{4}\right)

$$

である。

**(3)**

$$ S=\frac{2}{3}

$$