解説

方針・初手

（1） はそのままでは計算しにくいので，それぞれ $t=\sqrt{x}$，$t=\log y$ と置換して初等的な積分に直す。

（2），（3） は「関数とその逆関数の積分」の形である。単調増加な関数 $y=f(x)$ に対して

$$ \int_a^b f(x),dx+\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(y),dy=b f(b)-a f(a)

$$

が成り立つので，これを用いるのが最も速い。

解法1

**(1)**

まず

$$ I_1=\int_0^1 e^{\sqrt{x}},dx

$$

とおく。ここで $t=\sqrt{x}$ とおくと，$x=t^2,\ dx=2t,dt$ であり，$x=0,1$ に対応して $t=0,1$ であるから，

$$ I_1=2\int_0^1 t e^t,dt

$$

となる。さらに

$$ \int t e^t,dt=(t-1)e^t

$$

より，

$$ I_1=2\left[(t-1)e^t\right]_0^1 =2{0-(-1)} =2

$$

である。

次に

$$ I_2=\int_1^e (\log y)^2,dy

$$

とおく。ここで $t=\log y$ とおくと，$y=e^t,\ dy=e^t,dt$ であり，$y=1,e$ に対応して $t=0,1$ であるから，

$$ I_2=\int_0^1 t^2 e^t,dt

$$

となる。ここで

$$ \frac{d}{dt}\left(e^t(t^2-2t+2)\right)=t^2 e^t

$$

より，

$$ I_2=\left[e^t(t^2-2t+2)\right]_0^1 =e-2

$$

したがって求める値は

$$ I_1+I_2=2+(e-2)=e

$$

である。

**(2)**

$$ I=\int_0^{\pi/4}\tan x,dx,\qquad J=\int_0^1 f^{-1}(y),dy

$$

とおく。ここで $f(x)=\tan x$ であり，$-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}$ では単調増加なので，

$$ f^{-1}(y)=\arctan y

$$

である。

まず，$y=f(x)=\tan x$ とおくと $dy=\sec^2 x,dx$ であるから，

$$ J=\int_0^{\pi/4} x\sec^2 x,dx

$$

となる。これを部分積分すると，

$$ J=\left[x\tan x\right]_0^{\pi/4}-\int_0^{\pi/4}\tan x,dx =\frac{\pi}{4}-I

$$

よって，

$$ I+J=\frac{\pi}{4}

$$

である。

次に $I$ を求めると，

$$ I=\int_0^{\pi/4}\tan x,dx =\left[-\log(\cos x)\right]_0^{\pi/4} =-\log\frac{\sqrt2}{2} =\frac12\log2

$$

したがって，

$$ J=\frac{\pi}{4}-\frac12\log2

$$

となる。

**(3)**

$$ f(x)=e^{x^2}\qquad (0\le x\le 1)

$$

とおくと，$f$ は単調増加であり，

$$ f(0)=1,\qquad f(1)=e

$$

である。また $y=e^{x^2}$ を $x$ について解くと，

$$ x=\sqrt{\log y}

$$

となるので，$1\le y\le e$ において

$$ f^{-1}(y)=\sqrt{\log y}

$$

である。

したがって，（2） と同じ公式を用いれば，

$$ \int_0^1 e^{x^2},dx+\int_1^e \sqrt{\log y},dy =1\cdot f(1)-0\cdot f(0) =e

$$

である。

解説

この問題の中心は，**関数と逆関数の積分の関係**である。

単調増加な関数 $y=f(x)$ に対し，置換 $y=f(x)$ を用いると

$$ \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(y),dy =\int_a^b x f'(x),dx =\left[x f(x)\right]_a^b-\int_a^b f(x),dx

$$

となる。したがって

$$ \int_a^b f(x),dx+\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(y),dy =\left[x f(x)\right]_a^b

$$

が従う。（2） と （3） はこの形を見抜けるかが要点である。

一方，（1） は逆関数ではなく，素直な置換積分で処理する問題である。見た目に惑わされず，$\sqrt{x}$ や $\log y$ を新しい文字に置けばよい。

答え

**(1)**

$$ \int_0^1 e^{\sqrt{x}},dx+\int_1^e (\log y)^2,dy=e

$$

**(2)**

$$ \int_0^{\pi/4}\tan x,dx+\int_0^1 f^{-1}(y),dy=\frac{\pi}{4}

$$

$$ \int_0^1 f^{-1}(y),dy=\frac{\pi}{4}-\frac12\log2

$$

**(3)**

$$ \int_0^1 e^{x^2},dx+\int_1^e \sqrt{\log y},dy=e

$$