解説

方針・初手

すべての曲線は

$$ y=kx\sin^2(\pi x)

$$

の形であり、係数 $k$ だけが異なる。また、$0\leq x\leq 1$ で

$$ x\sin^2(\pi x)\geq 0

$$

であるから、2つの曲線で囲まれる部分の面積は、係数の差に比例する。

そこで

$$ I=\int_0^1 x\sin^2(\pi x),dx

$$

とおいて処理する。

解法1

まず、曲線 $C:y=x\sin^2(\pi x)$ と $C_0:y=\dfrac{2}{3}x\sin^2(\pi x)$ で囲まれる部分の面積は

$$ S_0=\left(1-\frac{2}{3}\right)I=\frac{1}{3}I

$$

である。

次に、$C_0$ と $C_1:y=a_1x\sin^2(\pi x)$ で囲まれる部分の面積は、条件 $0<a_1<\dfrac{2}{3}$ より

$$ S_1=\left(\frac{2}{3}-a_1\right)I

$$

である。

条件 $S_1=\dfrac{1}{3}S_0$ より、

$$ \begin{aligned} \left(\frac{2}{3}-a_1\right)I &= \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}I \end{aligned} $$

となる。$I>0$ であるから両辺を $I$ で割ると、

$$ \frac{2}{3}-a_1=\frac{1}{9}

$$

したがって、

$$ a_1=\frac{2}{3}-\frac{1}{9} =\frac{5}{9}

$$

である。

次に一般の場合を考える。$a_0=\dfrac{2}{3}$ とおくと、$a_n<a_{n-1}$ より、$C_{n-1}$ と $C_n$ で囲まれる部分の面積は

$$ S_n=(a_{n-1}-a_n)I

$$

である。

また、

$$ S_{n-1}=(a_{n-2}-a_{n-1})I

$$

であるから、条件 $S_n=\dfrac{1}{3}S_{n-1}$ より

$$ \begin{aligned} (a_{n-1}-a_n)I &= \frac{1}{3}(a_{n-2}-a_{n-1})I \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} a_{n-1}-a_n &= \frac{1}{3}(a_{n-2}-a_{n-1}) \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ d_n=a_{n-1}-a_n

$$

とおくと、

$$ d_n=\frac{1}{3}d_{n-1}

$$

である。

初項は

$$ \begin{aligned} d_1=a_0-a_1 &= \frac{2}{3}-\frac{5}{9} \\ \frac{1}{9} \end{aligned} $$

なので、

$$ \begin{aligned} d_n=\frac{1}{9}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} &= \frac{1}{3^{n+1}} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} a_n &= a_0-\sum_{k=1}^{n}d_k \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} a_n &= \frac{2}{3}-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{3^{k+1}}\\ &= \frac{2}{3}-\frac{1}{9}\cdot \frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^n}{1-\frac{1}{3}}\\ &= \frac{2}{3}-\frac{1}{6}\left(1-\frac{1}{3^n}\right)\\ &= \frac{1}{2}+\frac{1}{6\cdot 3^n}\\ &= \frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3^{n+1}} \end{aligned}

$$

となる。よって、

$$ a_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3^{n+1}}

$$

である。

したがって、数列 ${a_n}$ の極限値 $a$ は

$$ a=\lim_{n\to\infty}a_n=\frac{1}{2}

$$

である。

最後に、曲線

$$ y=ax\sin^2(\pi x)

$$

と $x$ 軸で囲まれる部分の面積 $S$ を求める。

ここで $a=\dfrac{1}{2}$ であり、$0\leq x\leq 1$ において $x\sin^2(\pi x)\geq 0$ だから、

$$ S=\frac{1}{2}\int_0^1 x\sin^2(\pi x),dx

$$

である。

積分を計算する。$\sin^2(\pi x)=\dfrac{1-\cos 2\pi x}{2}$ より、

$$ \begin{aligned} I &= \int_0^1 x\sin^2(\pi x),dx\\ &= \frac{1}{2}\int_0^1 x,dx-\frac{1}{2}\int_0^1 x\cos 2\pi x,dx \end{aligned}

$$

である。

部分積分または原始関数より、

$$ \begin{aligned} \int x\cos 2\pi x,dx &= \frac{x\sin 2\pi x}{2\pi} + \frac{\cos 2\pi x}{4\pi^2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 x\cos 2\pi x,dx &= \left[ \frac{x\sin 2\pi x}{2\pi} + \frac{\cos 2\pi x}{4\pi^2} \right]_0^1\\ &= \frac{1}{4\pi^2}-\frac{1}{4\pi^2}\\ &=0 \end{aligned}

$$

したがって、

$$ I=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}

$$

である。

よって、

$$ S=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{8}

$$

である。

解説

この問題の中心は、曲線の形がすべて $y=kx\sin^2(\pi x)$ で共通している点である。

$0\leq x\leq 1$ では $x\sin^2(\pi x)\geq 0$ なので、2つの曲線の上下関係は係数 $k$ の大小だけで決まる。そのため、面積計算を毎回積分でやり直す必要はなく、面積は係数の差に比例する。

この比例関係に気づくと、面積条件 $S_n=\dfrac{1}{3}S_{n-1}$ は、係数差が毎回 $\dfrac{1}{3}$ 倍になるという等比数列の問題に変わる。

答え

**(1)**

$$ a_1=\frac{5}{9}

$$

**(2)**

$$ a_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2\cdot 3^{n+1}} \qquad (n=0,1,2,\dots)

$$

**(3)**

$$ a=\frac{1}{2}

$$

$$ S=\frac{1}{8}

$$