基礎問題集
数学3 積分法「定積分・面積」の問題256 解説
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解説
方針・初手
$\sin^3 x$ を $\sin x(1-\cos^2 x)$ と変形すると、$\cos x$ の式にまとめやすくなる。すると $\sin x,dx$ が現れるので、$u=\cos x$ とおく置換積分が自然である。
解法1
まず
$$ \sin^3 x=\sin x(1-\cos^2 x)
$$
であるから、与えられた積分は
$$ \int \cos^2 x\sin^3 x,dx =\int \cos^2 x(1-\cos^2 x)\sin x,dx
$$
となる。
ここで
$$ u=\cos x
$$
とおくと、
$$ du=-\sin x,dx
$$
である。したがって
$$ \int \cos^2 x(1-\cos^2 x)\sin x,dx =-\int u^2(1-u^2),du
$$
となる。
これを展開して積分すると、
$$ -\int (u^2-u^4),du =-\left(\frac{u^3}{3}-\frac{u^5}{5}\right)+C
$$
よって
$$ -\frac{u^3}{3}+\frac{u^5}{5}+C
$$
であり、$u=\cos x$ を戻して
$$ -\frac{\cos^3 x}{3}+\frac{\cos^5 x}{5}+C
$$
となる。
解説
奇数乗の $\sin x$ や $\cos x$ があるときは、1個を切り出して残りを $1-\cos^2 x$ や $1-\sin^2 x$ に直すのが基本方針である。この問題では $\sin^3 x=\sin x\cdot \sin^2 x$ と見て $\sin^2 x=1-\cos^2 x$ を使うと、$\cos x$ による置換がそのまま通る。
答え
$$ \int \cos^2 x\sin^3 x,dx =-\frac{\cos^3 x}{3}+\frac{\cos^5 x}{5}+C
$$