解説

方針・初手

（1） は分母の根号を含む形を、そのまま有理化して簡単な式に直すのが最も速い。

（2） は $I=\int e^{ax}\cos x,dx$ とおき、部分積分を2回行って $I$ 自身に戻す。

（3） は絶対値の中身 $x-1$ の符号が $x=1$ で変わるので、そこで積分区間を分ける。

解法1

**(1)**

被積分関数を変形する。$x+1=t^2$ とみると

$$ x=(x+1)-1=(\sqrt{x+1})^2-1=(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)

$$

であるから、

$$ \frac{x}{\sqrt{x+1}+1}=\sqrt{x+1}-1

$$

となる。したがって

$$ \int \frac{x}{\sqrt{x+1}+1},dx =\int \left(\sqrt{x+1}-1\right),dx

$$

であり、

$$ \int \sqrt{x+1},dx=\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}

$$

より

$$ \int \frac{x}{\sqrt{x+1}+1},dx =\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}-x+C

$$

となる。

**(2)**

$$ I=\int e^{ax}\cos x,dx

$$

とおく。部分積分を行うと

$$ I=e^{ax}\sin x-a\int e^{ax}\sin x,dx

$$

となる。ここで

$$ J=\int e^{ax}\sin x,dx

$$

とおくと、再び部分積分により

$$ J=-e^{ax}\cos x+a\int e^{ax}\cos x,dx =-e^{ax}\cos x+aI

$$

である。これを先ほどの式に代入すると

$$ \begin{aligned} I &=e^{ax}\sin x-a(-e^{ax}\cos x+aI) \\ &=e^{ax}\sin x+ae^{ax}\cos x-a^2I \end{aligned}

$$

したがって

$$ (1+a^2)I=e^{ax}(a\cos x+\sin x)

$$

となるので、

$$ I=\frac{e^{ax}}{a^2+1}(a\cos x+\sin x)+C

$$

である。よって

$$ \int \cos x,e^{ax},dx =\frac{e^{ax}}{a^2+1}(a\cos x+\sin x)+C

$$

となる。

**(3)**

$0\le x<1$ では $x-1<0$ であるから $|x-1|=1-x$、また $1\le x\le 2$ では $x-1\ge0$ であるから $|x-1|=x-1$ である。よって

$$ \int_0^2 |x-1|,dx =\int_0^1 (1-x),dx+\int_1^2 (x-1),dx

$$

となる。それぞれ計算すると

$$ \int_0^1 (1-x),dx =\left[x-\frac{x^2}{2}\right]_0^1 =\frac{1}{2}

$$

$$ \int_1^2 (x-1),dx =\left[\frac{x^2}{2}-x\right]_1^2 =\frac{1}{2}

$$

であるから、

$$ \int_0^2 |x-1|,dx =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1

$$

となる。

解説

（1） は分母の根号を消そうとして置換に進むより、まず分子 $x$ を $(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)$ の形に見抜くことが重要である。

（2） は $e^{ax}\sin x,\ e^{ax}\cos x$ の組合せでは、部分積分を2回行うと元の積分に戻るのが典型処理である。途中で新しい積分を $J$ とおいて整理すると見通しがよい。

（3） は絶対値の定義どおりに、符号が変わる点で区間を分ければ機械的に処理できる。絶対値付き定積分の基本である。

答え

**(1)**

$$ \int \frac{x}{\sqrt{x+1}+1},dx =\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}-x+C

$$

**(2)**

$$ \int \cos x,e^{ax},dx =\frac{e^{ax}}{a^2+1}(a\cos x+\sin x)+C

$$

**(3)**

$$ \int_0^2 |x-1|,dx=1

$$