基礎問題集

数学3 積分法「定積分・面積」の問題258 解説

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数学3積分法定積分・面積問題258

解説

$\sqrt{x}$ が指数にあるので、そのままでは積分しにくい。そこで

$$ t=\sqrt{x}

とおいて置換積分を行う。すると $x=t^2,\ dx=2t,dt$ となり、多項式と指数関数の積の形に直せる。

$$ t=\sqrt{x}

とおくと、

$$ x=t^2,\quad dx=2t,dt

であるから、求める積分は

$$ \int e^{\sqrt{x}},dx =\int e^t\cdot 2t,dt =2\int te^t,dt

となる。

ここで部分積分を用いる。 $u=t,\ dv=e^t,dt$ とすると、

$$ du=dt,\quad v=e^t

より、

$$ \int te^t,dt =te^t-\int e^t,dt =te^t-e^t+C =(t-1)e^t+C

したがって、

$$ 2\int te^t,dt =2(t-1)e^t+C

である。

最後に $t=\sqrt{x}$ を戻して、

$$ \int e^{\sqrt{x}},dx =2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}}+C

となる。

この問題の要点は、$\sqrt{x}$ をそのまま扱わず、新しい文字 $t=\sqrt{x}$ とおいて指数の中身を単純化することである。置換後は $\int te^t,dt$ となり、これは部分積分の典型形である。

置換積分のあとに部分積分を続けて使う流れが自然な問題である。

$$ \int e^{\sqrt{x}},dx=2(\sqrt{x}-1)e^{\sqrt{x}}+C