解説

方針・初手

どちらも、積分部分は $x$ によらない定数である。したがって、その定数を文字でおくと、関数の形が $e^x$ から定数を引いた形に決まる。その後、その定数が満たす方程式を作ればよい。

解法1

**(1)**

まず

$$ A=\int_0^1 t f(t),dt

$$

とおく。すると、与えられた等式より

$$ f(x)=e^x-A

$$

である。

これを $A$ の定義式に代入すると、

$$ A=\int_0^1 t(e^t-A),dt

$$

となる。右辺を計算する。

$$ A=\int_0^1 te^t,dt-A\int_0^1 t,dt

$$

ここで、部分積分により

$$ \int_0^1 te^t,dt=\left[(t-1)e^t\right]_0^1=1

$$

また、

$$ \int_0^1 t,dt=\frac12

$$

である。したがって

$$ A=1-\frac{A}{2}

$$

より、

$$ \frac{3}{2}A=1

$$

だから

$$ A=\frac{2}{3}

$$

である。

よって

$$ f(x)=e^x-\frac{2}{3}

$$

である。

**(2)**

同様に、

$$ B=\int_0^1 t{g(t)}^2,dt

$$

とおく。すると、与えられた等式より

$$ g(x)=e^x-B

$$

である。

これを $B$ の定義式に代入すると、

$$ B=\int_0^1 t(e^t-B)^2,dt

$$

となる。展開して計算する。

$$ B=\int_0^1 te^{2t},dt-2B\int_0^1 te^t,dt+B^2\int_0^1 t,dt

$$

先ほど求めたように

$$ \int_0^1 te^t,dt=1,\qquad \int_0^1 t,dt=\frac12

$$

である。また、部分積分により

$$ \int_0^1 te^{2t},dt =\left[e^{2t}\left(\frac{t}{2}-\frac14\right)\right]_0^1 =\frac{e^2+1}{4}

$$

である。

したがって

$$ B=\frac{e^2+1}{4}-2B+\frac{B^2}{2}

$$

となる。整理すると

$$ 2B^2-12B+e^2+1=0

$$

である。

これを解くと、

$$ B=\frac{12\pm\sqrt{144-8(e^2+1)}}{4}

$$

すなわち

$$ B=3\pm\frac12\sqrt{34-2e^2}

$$

である。

したがって、求める関数は

$$ g(x)=e^x-\left(3\pm\frac12\sqrt{34-2e^2}\right)

$$

である。つまり

$$ g(x)=e^x-3\mp\frac12\sqrt{34-2e^2}

$$

である。

解説

この問題の中心は、積分部分が $x$ に依存しない定数であることに気づく点である。

（1） では未知定数について一次方程式が得られるため、関数は一意に定まる。

一方、（2） では ${g(t)}^2$ が含まれるため、未知定数について二次方程式が得られる。そのため、条件を満たす関数が2つ出てくる。二次方程式の2つの解はいずれも実数であり、それぞれ元の積分方程式を満たす。

答え

**(1)**

$$ f(x)=e^x-\frac{2}{3}

$$

**(2)**

$$ g(x)=e^x-\left(3+\frac12\sqrt{34-2e^2}\right)

$$

または

$$ g(x)=e^x-\left(3-\frac12\sqrt{34-2e^2}\right)

$$