解説

方針・初手

半円の直径が $AB=2$ であるから，半円の半径は $1$ である。

弧を $n$ 等分しているので，各点 $P_k$ は中心角を $\dfrac{\pi}{n}$ ずつ刻んだ位置にある。したがって，$AP_k$ と $P_kB$ はともに半径 $1$ の円の弦であり，弦の長さ

$$ 2\sin \frac{\text{中心角}}{2}

$$

を用いれば $\ell_n(k)$ が求まる。

さらに （2） では，得られた $\ell_n(k)$ の和をみると $\dfrac{k}{n}$ の関数のリーマン和になるので，極限は定積分で処理できる。

解法1

円の中心を $O$ とし，座標を

$$ A=(-1,0),\quad B=(1,0)

$$

とおく。半径は $1$ である。

弧 $AB$ を $n$ 等分しているから，$P_k$ に対応する中心角は

$$ \angle AOP_k=\frac{k\pi}{n},\qquad \angle P_kOB=\pi-\frac{k\pi}{n}

$$

である。

半径 $1$ の円において，中心角 $\theta$ に対する弦の長さは

$$ 2\sin \frac{\theta}{2}

$$

であるから，

$$ AP_k=2\sin \frac{1}{2}\angle AOP_k =2\sin \frac{k\pi}{2n}

$$

であり，

$$ P_kB=2\sin \frac{1}{2}\angle P_kOB =2\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{k\pi}{2n}\right) =2\cos \frac{k\pi}{2n}

$$

となる。

また，

$$ BA=2

$$

である。

よって

$$ \ell_n(k)=AP_k+P_kB+BA

$$

より，

$$ \ell_n(k)=2+2\sin \frac{k\pi}{2n}+2\cos \frac{k\pi}{2n}

$$

を得る。

実際，$k=n$ とすると

$$ \ell_n(n)=2+2\sin \frac{\pi}{2}+2\cos \frac{\pi}{2}=4

$$

となり，条件とも一致する。

次に （2） を求める。

上の式を用いると，

$$ \frac{\ell_n(1)+\ell_n(2)+\cdots+\ell_n(n)}{n} =2+\frac{2}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(\sin \frac{k\pi}{2n}+\cos \frac{k\pi}{2n}\right)

$$

である。

ここで

$$ f(x)=\sin \frac{\pi x}{2}+\cos \frac{\pi x}{2}

$$

とおけば，

$$ \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right)

$$

は区間 $[0,1]$ における $f(x)$ のリーマン和である。したがって

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(\frac{k}{n}\right) =\int_0^1 f(x),dx

$$

であるから，

$$ \alpha =2+2\int_0^1\left(\sin \frac{\pi x}{2}+\cos \frac{\pi x}{2}\right),dx

$$

となる。

これを計算すると，

$$ \int_0^1\sin \frac{\pi x}{2},dx =\left[-\frac{2}{\pi}\cos \frac{\pi x}{2}\right]_0^1 =\frac{2}{\pi}

$$

であり，

$$ \int_0^1\cos \frac{\pi x}{2},dx =\left[\frac{2}{\pi}\sin \frac{\pi x}{2}\right]_0^1 =\frac{2}{\pi}

$$

である。

よって

$$ \alpha =2+2\left(\frac{2}{\pi}+\frac{2}{\pi}\right) =2+\frac{8}{\pi}

$$

となる。

解説

この問題の本質は，半円周上の点を扱う幾何の問題を，弦の長さの公式に落とすことである。

（1） では，$AP_k$ と $P_kB$ をそれぞれ中心角で表せばすぐに求まる。半径 $1$ の円で弦の長さが $2\sin \dfrac{\theta}{2}$ になることが基本事項である。

（2） では，$\ell_n(k)$ が $\dfrac{k}{n}$ の関数になっていることを見抜けるかが重要である。そこまで分かれば，和の極限は典型的なリーマン和として定積分に移る。

答え

**(1)**

$$ \ell_n(k)=2+2\sin \frac{k\pi}{2n}+2\cos \frac{k\pi}{2n} \qquad (k=1,2,\dots,n)

$$

**(2)**

$$ \alpha=2+\frac{8}{\pi}

$$