解説

方針・初手

この問題は、曲線 $y=x^{p-1}$ とその逆関係を面積で見ることで、Young の不等式

$$ st \leq \frac{s^p}{p}+\frac{t^q}{q}

$$

を導き、さらにそれを関数に適用して Hölder の不等式の特別な形を示す問題である。

まず $1/p+1/q=1$ から

$$ q=\frac{p}{p-1}, \qquad q-1=\frac{1}{p-1}

$$

であることを使う。

解法1

**(1)**

$s>0$ のとき、曲線 $y=x^{p-1}$ と $x$ 軸および直線 $x=s$ で囲まれる図形の面積は、$x=0$ から $x=s$ までの定積分で表される。

したがって、求める面積は

$$ \int_0^s x^{p-1},dx =\left[\frac{x^p}{p}\right]_0^s =\frac{s^p}{p}

$$

である。

**(2)**

$t>0$ のとき、曲線 $y=x^{p-1}$ を $x$ について解くと

$$ x=y^{\frac{1}{p-1}}

$$

である。

ここで

$$ q-1=\frac{1}{p-1}

$$

より、

$$ x=y^{q-1}

$$

と書ける。

曲線 $y=x^{p-1}$ と $y$ 軸および直線 $y=t$ で囲まれる図形の面積は、$y=0$ から $y=t$ まで、横方向の長さ $x=y^{q-1}$ を積分すればよい。

よって、求める面積は

$$ \int_0^t y^{q-1},dy =\left[\frac{y^q}{q}\right]_0^t =\frac{t^q}{q}

$$

である。

**(3)**

$s\geq 0,\ t\geq 0$ とする。

$s=0$ または $t=0$ のときは、左辺 $st=0$ であり、右辺は非負だから

$$ st\leq \frac{s^p}{p}+\frac{t^q}{q}

$$

は成り立つ。

以下、$s>0,\ t>0$ とする。

(1) より、曲線 $y=x^{p-1}$ と $x$ 軸および直線 $x=s$ で囲まれる面積は

$$ \frac{s^p}{p}

$$

である。

また、(2) より、曲線 $y=x^{p-1}$ と $y$ 軸および直線 $y=t$ で囲まれる面積は

$$ \frac{t^q}{q}

$$

である。

長方形

$$ 0\leq x\leq s,\qquad 0\leq y\leq t

$$

を考える。この長方形内の任意の点 $(x,y)$ について、もし

$$ y\leq x^{p-1}

$$

なら、その点は曲線 $y=x^{p-1}$ の下側の領域に含まれる。

一方、

$$ y>x^{p-1}

$$

ならば、$p-1>0$ であるから

$$ x<y^{\frac{1}{p-1}}=y^{q-1}

$$

となる。したがって、その点は曲線 $x=y^{q-1}$ の左側の領域に含まれる。

よって、長方形

$$ 0\leq x\leq s,\qquad 0\leq y\leq t

$$

は、上の2つの領域の和集合に含まれる。

したがって、長方形の面積 $st$ は、それら2つの領域の面積の和以下である。すなわち

$$ st\leq \frac{s^p}{p}+\frac{t^q}{q}

$$

が成り立つ。

**(4)**

各 $x\in [a,b]$ に対して

$$ s=|f(x)|,\qquad t=|g(x)|

$$

とおくと、$s\geq 0,\ t\geq 0$ である。

したがって、(3) より

$$ |f(x)g(x)| \leq \frac{|f(x)|^p}{p}+\frac{|g(x)|^q}{q}

$$

が成り立つ。

両辺を $a$ から $b$ まで積分すると、

$$ \int_a^b |f(x)g(x)|,dx \leq \frac{1}{p}\int_a^b |f(x)|^p,dx + \frac{1}{q}\int_a^b |g(x)|^q,dx

$$

である。

条件より

$$ \int_a^b |f(x)|^p,dx=1,\qquad \int_a^b |g(x)|^q,dx=1

$$

だから、

$$ \int_a^b |f(x)g(x)|,dx \leq \frac{1}{p}+\frac{1}{q} =1

$$

となる。

よって、

$$ \int_a^b |f(x)g(x)|,dx\leq 1

$$

が成り立つ。

解説

(1), (2) は、曲線 $y=x^{p-1}$ の下側の面積と、その逆関係で見た左側の面積を計算している。

(3) は Young の不等式である。重要なのは、長方形 $0\leq x\leq s,\ 0\leq y\leq t$ が、曲線の下側の領域と逆関係で見た左側の領域の和集合に含まれる、という面積的な見方である。

(4) は、(3) を各点 $x$ において

$$ s=|f(x)|,\qquad t=|g(x)|

$$

として適用し、それを積分するだけでよい。これは Hölder の不等式の基本形であり、条件

$$ \int_a^b |f(x)|^p,dx= \int_a^b |g(x)|^q,dx=1

$$

によって右辺がちょうど $1$ になる。

答え

**(1)**

$$ \frac{s^p}{p}

$$

**(2)**

$$ \frac{t^q}{q}

$$

**(3)**

任意の $s\geq 0,\ t\geq 0$ に対して、

$$ st\leq \frac{s^p}{p}+\frac{t^q}{q}

$$

が成り立つ。

**(4)**

条件

$$ \int_a^b |f(x)|^p,dx= \int_a^b |g(x)|^q,dx=1

$$

のもとで、

$$ \int_a^b |f(x)g(x)|,dx\leq 1

$$

が成り立つ。