解説

方針・初手

まず $f(x)=g(x)$ を解いて交点の $x$ 座標 $a,b$ を求める。

次に $f'(x),g'(x)$ を計算すると，$f,g$ が互いの一次結合で表せる。これを用いると，面積

$$ \int_a^b |f(x)-g(x)|,dx

$$

を端点の値だけで処理できる。

解法1

**(1)**

$a,b$ を求める。

$f(x)=g(x)$ より

$$ e^{-x}\sin 3x=e^{-x}\cos 3x

$$

である。$e^{-x}>0$ だから，

$$ \sin 3x=\cos 3x

$$

すなわち

$$ \tan 3x=1

$$

となる。したがって，

$$ 3x=\frac{\pi}{4}+n\pi \quad (n\in\mathbb{Z})

$$

より，

$$ x=\frac{\pi}{12}+\frac{n\pi}{3}

$$

である。

このうち，負で最大のものは $n=-1$ のときで

$$ a=\frac{\pi}{12}-\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{4}

$$

正で最小のものは $n=0$ のときで

$$ b=\frac{\pi}{12}

$$

である。

**(2)**

$f'(x),g'(x)$ を求める。

$f(x)=e^{-x}\sin 3x$ を微分すると，

$$ f'(x)=-e^{-x}\sin 3x+3e^{-x}\cos 3x=-f(x)+3g(x)

$$

同様に $g(x)=e^{-x}\cos 3x$ を微分すると，

$$ g'(x)=-e^{-x}\cos 3x-3e^{-x}\sin 3x=-3f(x)-g(x)

$$

となる。

さらに $f$ を $f',g'$ で表す。 $f'(x)=-f(x)+3g(x)$ から

$$ g(x)=\frac{f'(x)+f(x)}{3}

$$

である。これを $g'(x)=-3f(x)-g(x)$ に代入すると，

$$ g'(x)=-3f(x)-\frac{f'(x)+f(x)}{3} =-\frac{10f(x)+f'(x)}{3}

$$

よって，

$$ 10f(x)=-f'(x)-3g'(x)

$$

となるから，

$$ f(x)=-\frac{1}{10}f'(x)-\frac{3}{10}g'(x)

$$

である。

（3） 面積を求める。

区間 $a\le x\le b$，すなわち

$$ -\frac{\pi}{4}\le x\le \frac{\pi}{12}

$$

において，例えば $x=0$ を代入すると

$$ f(0)=0,\quad g(0)=1

$$

だから，この区間では $g(x)\ge f(x)$ である。したがって面積 $S$ は

$$ S=\int_a^b {g(x)-f(x)},dx

$$

で与えられる。

ここで $g-f$ を $f',g'$ の一次結合で表すため，

$$ g(x)-f(x)=\alpha f'(x)+\beta g'(x)

$$

とおく。 $f'(x)=-f(x)+3g(x)$，$g'(x)=-3f(x)-g(x)$ を用いると，

$$ \alpha(-f+3g)+\beta(-3f-g)=g-f

$$

より係数比較して

$$ -\alpha-3\beta=-1,\quad 3\alpha-\beta=1

$$

を得る。これを解くと

$$ \alpha=\frac{2}{5},\quad \beta=\frac{1}{5}

$$

である。よって，

$$ g(x)-f(x)=\frac{2}{5}f'(x)+\frac{1}{5}g'(x)

$$

したがって，

$$ S=\int_a^b \left(\frac{2}{5}f'(x)+\frac{1}{5}g'(x)\right),dx =\left[\frac{2}{5}f(x)+\frac{1}{5}g(x)\right]_a^b

$$

となる。

$a,b$ はともに $f(x)=g(x)$ を満たすので，

$$ S=\frac{3}{5}{f(b)-f(a)}

$$

である。

ここで

$$ f\left(\frac{\pi}{12}\right)=e^{-\pi/12}\sin\frac{\pi}{4} =\frac{e^{-\pi/12}}{\sqrt{2}}

$$

また

$$ f\left(-\frac{\pi}{4}\right)=e^{\pi/4}\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right) =-\frac{e^{\pi/4}}{\sqrt{2}}

$$

だから，

$$ S=\frac{3}{5}\left(\frac{e^{-\pi/12}}{\sqrt{2}}+\frac{e^{\pi/4}}{\sqrt{2}}\right) =\frac{3}{5\sqrt{2}}\left(e^{-\pi/12}+e^{\pi/4}\right)

$$

さらに $e^{-\pi/12}$ をくくると，

$$ S=\frac{3\sqrt{2}}{10}e^{-\pi/12}\left(1+e^{\pi/3}\right)

$$

である。

解説

この問題の要点は，交点条件 $f(x)=g(x)$ では $e^{-x}>0$ なので指数関数部分を消して

$$ \sin 3x=\cos 3x

$$

に直せることである。

また，（2） で導関数を求めさせているのは，（3） の面積計算を楽にするためである。実際，

$$ g-f=\frac{2}{5}f'+\frac{1}{5}g'

$$

と表せるので，積分が端点値の差に変わる。これがこの問題の狙いである。

答え

**(1)**

$$ a=-\frac{\pi}{4},\qquad b=\frac{\pi}{12}

$$

**(2)**

$$ f'(x)=-f(x)+3g(x),\qquad g'(x)=-3f(x)-g(x)

$$

$$ f(x)=-\frac{1}{10}f'(x)-\frac{3}{10}g'(x)

$$

**(3)**

$$ \frac{3\sqrt{2}}{10}e^{-\pi/12}\left(1+e^{\pi/3}\right)

$$