解説

方針・初手

まず導関数 $f'(x)$ を求めて因数分解し，その符号から増減と極値を調べる。次に $f''(x)$ の符号から凹凸と変曲点を求める。

定積分は，そのまま部分積分を2回行うと素直に計算できる。

解法1

関数

$$ f(x)=x{(\log x)^2-3}\qquad (x>0)

$$

を考える。

（1） 接線の方程式

まず $f(1)$ を確認すると，

$$ f(1)=1{(\log 1)^2-3}=1(0-3)=-3

$$

であり，確かに点 $(1,-3)$ は曲線上にある。

次に微分すると，

$$ f'(x)={(\log x)^2-3}+x\cdot 2\log x\cdot \frac{1}{x} =(\log x)^2+2\log x-3

$$

となる。

したがって，

$$ f'(1)=(\log 1)^2+2\log 1-3=-3

$$

であるから，点 $(1,-3)$ における接線の傾きは $-3$ である。

よって接線の方程式は，

$$ y+3=-3(x-1)

$$

すなわち

$$ y=-3x

$$

である。

（2） 増減，極値，凹凸，変曲点

まず，

$$ f'(x)=(\log x)^2+2\log x-3 =(\log x-1)(\log x+3)

$$

と因数分解できる。

ここで $\log x$ の値に注目すると，

$$ \log x=-3 \iff x=e^{-3},\qquad \log x=1 \iff x=e

$$

である。

したがって $f'(x)$ の符号は次のようになる。

$$ \begin{array}{c|ccc} x & 0<x<e^{-3} & e^{-3}<x<e & x>e \\ \hline f'(x) & + & - & + \end{array}

$$

ゆえに，$f(x)$ は

$$ 0<x<e^{-3}\ \text{で増加},\qquad e^{-3}<x<e\ \text{で減少},\qquad x>e\ \text{で増加}

$$

する。

よって $x=e^{-3}$ で極大，$x=e$ で極小となる。

その値は，

$$ f(e^{-3})=e^{-3}{(-3)^2-3}=6e^{-3}=\frac{6}{e^3}

$$

$$ f(e)=e(1-3)=-2e

$$

である。

次に2階微分を求めると，

$$ f''(x)=\frac{2\log x}{x}+\frac{2}{x} =\frac{2(\log x+1)}{x}

$$

となる。

$x>0$ であるから，$f''(x)$ の符号は $\log x+1$ の符号で決まる。したがって，

$$ \log x=-1 \iff x=e^{-1}=\frac{1}{e}

$$

より，

$$ \begin{array}{c|cc} x & 0<x<e^{-1} & x>e^{-1} \\ \hline f''(x) & - & + \end{array}

$$

となる。

よって曲線 $y=f(x)$ は

$$ 0<x<\frac{1}{e}\ \text{で上に凸},\qquad x>\frac{1}{e}\ \text{で下に凸}

$$

であり，$x=\dfrac{1}{e}$ で変曲点をもつ。

その座標は，

$$ f\left(\frac{1}{e}\right) =\frac{1}{e}\left\{\left(\log \frac{1}{e}\right)^2-3\right\} =\frac{1}{e}(1-3) =-\frac{2}{e}

$$

より，

$$ \left(\frac{1}{e},-\frac{2}{e}\right)

$$

である。

（3） 定積分 $I=\displaystyle\int_1^e f(x),dx$

$$ I=\int_1^e x{(\log x)^2-3},dx =\int_1^e x(\log x)^2,dx-3\int_1^e x,dx

$$

と分ける。

まず

$$ \int_1^e x(\log x)^2,dx

$$

を部分積分する。 $u=(\log x)^2,\ dv=x,dx$ とおくと，

$$ du=\frac{2\log x}{x},dx,\qquad v=\frac{x^2}{2}

$$

であるから，

$$ \int_1^e x(\log x)^2,dx =\left[\frac{x^2}{2}(\log x)^2\right]_1^e-\int_1^e x\log x,dx

$$

となる。

次に

$$ \int_1^e x\log x,dx

$$

を部分積分する。 $u=\log x,\ dv=x,dx$ とおくと，

$$ du=\frac{1}{x},dx,\qquad v=\frac{x^2}{2}

$$

より，

$$ \int_1^e x\log x,dx =\left[\frac{x^2}{2}\log x\right]_1^e-\frac12\int_1^e x,dx

$$

である。ここで

$$ \left[\frac{x^2}{2}\log x\right]_1^e=\frac{e^2}{2},\qquad \int_1^e x,dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^e=\frac{e^2-1}{2}

$$

だから，

$$ \int_1^e x\log x,dx =\frac{e^2}{2}-\frac12\cdot \frac{e^2-1}{2} =\frac{e^2+1}{4}

$$

となる。

したがって，

$$ \int_1^e x(\log x)^2,dx =\frac{e^2}{2}-\frac{e^2+1}{4} =\frac{e^2-1}{4}

$$

である。

また，

$$ 3\int_1^e x,dx=3\cdot \frac{e^2-1}{2}

$$

なので，

$$ I=\frac{e^2-1}{4}-3\cdot \frac{e^2-1}{2} =-\frac{5}{4}(e^2-1)

$$

となる。

解説

この問題の中心は，$f'(x)$ を

$$ (\log x-1)(\log x+3)

$$

と因数分解できることにある。これにより増減と極値はすぐに決まる。

また，凹凸は $f''(x)=\dfrac{2(\log x+1)}{x}$ の符号を見るだけでよい。$x>0$ なので分母の符号を気にしなくてよい点が重要である。

定積分は置換積分でも求められるが，高校数学としては部分積分を2回使うのが標準的である。

答え

**(1)**

接線の方程式は

$$ y=-3x

$$

である。

**(2)**

増減は

$$ 0<x<e^{-3}\ \text{で増加},\qquad e^{-3}<x<e\ \text{で減少},\qquad x>e\ \text{で増加}

$$

である。

極大は $x=e^{-3}$ のときで，極大値は

$$ \frac{6}{e^3}

$$

である。

極小は $x=e$ のときで，極小値は

$$ -2e

$$

である。

凹凸は

$$ 0<x<\frac1e\ \text{で上に凸},\qquad x>\frac1e\ \text{で下に凸}

$$

であり，変曲点は

$$ \left(\frac1e,-\frac2e\right)

$$

である。

**(3)**

$$ I=\int_1^e f(x),dx=-\frac54(e^2-1)

$$

である。