解説

方針・初手

関数

$$ f(x)=\frac{\log x}{x^2}\quad (x>0)

$$

については、まず微分して増減を調べる。特に、$x^n=e^{x^2}$ は両辺の対数をとると

$$ n=\frac{x^2}{\log x}

$$

という形になり、(1)で調べた関数の逆数的な関数を考える問題になる。

解法1

(1) 極値とグラフの概形

$$ y=\frac{\log x}{x^2}

$$

とおく。微分すると、

$$ y'=\frac{1-2\log x}{x^3}

$$

である。$x^3>0$ だから、$y'$ の符号は $1-2\log x$ の符号で決まる。

$$ 1-2\log x=0

$$

より、

$$ \log x=\frac12

$$

したがって、

$$ x=\sqrt{e}

$$

である。

よって、増減は

• $0<x<\sqrt e$ で増加
• $x>\sqrt e$ で減少

となる。

このとき、

$$ y(\sqrt e)=\frac{\log \sqrt e}{(\sqrt e)^2} =\frac{1/2}{e} =\frac{1}{2e}

$$

である。したがって、$x=\sqrt e$ で最大値

$$ \frac{1}{2e}

$$

をとる。

また、

$$ \log x=0

$$

より $x=1$ で $x$ 軸と交わる。

端の様子は、

$$ \lim_{x\to \infty}\frac{\log x}{x^2}=0

$$

であるから、$x\to\infty$ では $x$ 軸に近づく。

一方、$x\to+0$ のとき $\log x\to-\infty$ かつ $x^2\to0$ であるから、

$$ \lim_{x\to+0}\frac{\log x}{x^2}=-\infty

$$

である。

さらに、必要なら凹凸を調べると、

$$ y''=\frac{6\log x-5}{x^4}

$$

であるから、変曲点は

$$ 6\log x-5=0

$$

より

$$ x=e^{5/6}

$$

である。

したがって、グラフの概形は次のようになる。

$0<x<1$ では $y<0$ で、$x\to+0$ で $y\to-\infty$ となる。$x=1$ で $x$ 軸と交わり、その後増加して $x=\sqrt e$ で最大値 $\dfrac{1}{2e}$ をとる。その後は減少し、$x\to\infty$ で $x$ 軸に上から近づく。

(2) 方程式 $x^n=e^{x^2}$ が正の実数解をもつ条件

方程式

$$ x^n=e^{x^2}

$$

を考える。正の実数解を考えるので $x>0$ である。

両辺の対数をとると、

$$ n\log x=x^2

$$

となる。

ここで $x^2>0$ であり、$n$ は自然数だから、解があるためには $\log x>0$、すなわち

$$ x>1

$$

でなければならない。

よって、

$$ n=\frac{x^2}{\log x}

$$

と変形できる。そこで

$$ g(x)=\frac{x^2}{\log x}\quad (x>1)

$$

とおく。

微分すると、

$$ g'(x) =\frac{2x\log x-x}{(\log x)^2} =\frac{x(2\log x-1)}{(\log x)^2}

$$

である。

$x>1$ では $x>0$ かつ $(\log x)^2>0$ だから、$g'(x)$ の符号は $2\log x-1$ の符号で決まる。

$$ 2\log x-1=0

$$

より、

$$ x=\sqrt e

$$

である。

したがって、$g(x)$ は

• $1<x<\sqrt e$ で減少
• $x>\sqrt e$ で増加

する。

また、

$$ \lim_{x\to1+}\frac{x^2}{\log x}=+\infty

$$

であり、さらに与えられた

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x^2}=0

$$

より、

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{\log x}=+\infty

$$

である。

よって、$g(x)$ の最小値は $x=\sqrt e$ でとる。

$$ g(\sqrt e)=\frac{(\sqrt e)^2}{\log \sqrt e} =\frac{e}{1/2} =2e

$$

したがって、方程式 $x^n=e^{x^2}$ が正の実数解をもつための条件は

$$ n\ge 2e

$$

である。

ここで、問題文より

$$ 2.7<e<2.8

$$

だから、

$$ 5.4<2e<5.6

$$

である。

よって、$2e$ 以上となる最小の自然数は

$$ 6

$$

である。

(3) 面積が $1$ となる $a$ の値

曲線

$$ y=\frac{\log x}{x^2}

$$

は $x=1$ で $x$ 軸と交わる。

まず、

$$ \int \frac{\log x}{x^2},dx

$$

を求める。部分積分により、

$$ \int \frac{\log x}{x^2},dx =-\frac{\log x+1}{x}

$$

である。

**(i) $a>1$ の場合**

このとき、囲まれる図形は $1\le x\le a$ にあり、面積は

$$ S(a)=\int_1^a \frac{\log x}{x^2},dx

$$

である。

よって、

$$ S(a)=\left[-\frac{\log x+1}{x}\right]_1^a =1-\frac{\log a+1}{a}

$$

となる。

このとき $a>1$ では $\log a>0$ だから、

$$ \frac{\log a+1}{a}>0

$$

である。したがって、

$$ S(a)=1-\frac{\log a+1}{a}<1

$$

となり、面積が $1$ になることはない。

**(ii) $0<a<1$ の場合**

このとき、曲線は $x$ 軸の下側にあるので、面積は

$$ S(a)=-\int_a^1 \frac{\log x}{x^2},dx

$$

である。

したがって、

$$ S(a) =-\left[-\frac{\log x+1}{x}\right]_a^1 =1-\frac{\log a+1}{a}

$$

となる。

面積が $1$ であるから、

$$ 1-\frac{\log a+1}{a}=1

$$

よって、

$$ \frac{\log a+1}{a}=0

$$

である。$a>0$ より $a\ne0$ だから、

$$ \log a+1=0

$$

したがって、

$$ \log a=-1

$$

より、

$$ a=e^{-1}

$$

である。

解説

(1) は、微分して増減を調べればよい。$\dfrac{\log x}{x^2}$ は $x=1$ で符号が変わり、$x=\sqrt e$ で最大値をとることが重要である。

(2) は、対数をとって

$$ n=\frac{x^2}{\log x}

$$

に帰着するのが核心である。この関数の最小値が $2e$ になるため、自然数 $n$ の最小値は $2e$ を超える最小の自然数として決まる。

(3) は、曲線が $x=1$ で $x$ 軸と交わることに注意する。$a>1$ では面積は $1$ 未満であり、条件を満たさない。したがって $0<a<1$ の場合を考えると、$a=e^{-1}$ が得られる。

答え

**(1)**

最大値は

$$ \frac{1}{2e}

$$

であり、そのとき

$$ x=\sqrt e

$$

である。最小値は存在しない。グラフは、$x\to+0$ で $-\infty$ に発散し、$x=1$ で $x$ 軸と交わり、$x=\sqrt e$ で最大値をとった後、$x\to\infty$ で $x$ 軸に上から近づく。

**(2)**

$$ n=6

$$

**(3)**

$$ a=\frac{1}{e}

$$