解説

方針・初手

（1） は積分区間を $[-1,1]$ に移し，$x$ と $-x$ を組にして仮定 $f(x)+f(-x)\ge 2f(0)$ をそのまま積分すればよい。

（2） は （1） に

$$ f(x)=\frac{1}{x+2}

$$

を代入する。すると $\displaystyle \int_1^3 \frac{1}{x},dx$ に関する評価が得られ，$\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x},dx=1$ と比較できる。

解法1

**(1)**

置換 $t=x-2$ を行うと，$x=1$ のとき $t=-1$，$x=3$ のとき $t=1$ であるから，

$$ \int_1^3 f(x-2),dx=\int_{-1}^1 f(t),dt

$$

となる。

ここで積分区間を対称性を用いて分けると，

$$ \int_{-1}^1 f(t),dt =\int_{-1}^0 f(t),dt+\int_0^1 f(t),dt

$$

であり，第1項に $t=-u$ とおくと，

$$ \int_{-1}^0 f(t),dt=\int_0^1 f(-u),du

$$

したがって，

$$ \int_{-1}^1 f(t),dt=\int_0^1 {f(u)+f(-u)},du

$$

仮定より，$0\le u\le 1$ に対して

$$ f(u)+f(-u)\ge 2f(0)

$$

であるから，両辺を $0$ から $1$ まで積分して

$$ \int_0^1 {f(u)+f(-u)},du\ge \int_0^1 2f(0),du=2f(0)

$$

よって，

$$ \int_1^3 f(x-2),dx=\int_{-1}^1 f(t),dt\ge 2f(0)

$$

となり，示された。

**(2)**

$$ f(x)=\frac{1}{x+2}\qquad(-1\le x\le 1)

$$

とおく。この $f$ は $[-1,1]$ で連続である。

さらに，

$$ f(x)+f(-x) =\frac{1}{x+2}+\frac{1}{2-x} =\frac{(2-x)+(x+2)}{(x+2)(2-x)} =\frac{4}{4-x^2}

$$

ここで $-1\le x\le 1$ では $x^2\le 1$ なので $4-x^2\le 4$ である。したがって，

$$ \frac{4}{4-x^2}\ge 1

$$

一方，

$$ 2f(0)=2\cdot \frac{1}{2}=1

$$

であるから，

$$ f(x)+f(-x)\ge 2f(0)

$$

が成り立つ。よって （1） の結果を適用できて，

$$ \int_1^3 f(x-2),dx\ge 2f(0)=1

$$

となる。ところが

$$ f(x-2)=\frac{1}{(x-2)+2}=\frac{1}{x}

$$

であるから，

$$ \int_1^3 \frac{1}{x},dx\ge 1

$$

を得る。

さて，$e$ は

$$ \int_1^e \frac{1}{x},dx=1

$$

を満たす $1$ より大きい実数である。

ここで $x\ge 1$ では $\dfrac{1}{x}>0$ であるから，もし $e>3$ なら

$$ \int_1^e \frac{1}{x},dx

>

\int_1^3 \frac{1}{x},dx \ge 1

$$

となり，$\displaystyle \int_1^e \frac{1}{x},dx=1$ に矛盾する。

したがって，

$$ e\le 3

$$

である。

解説

この問題の核心は，（1） で対称な2点 $x$ と $-x$ を組にして積分することである。仮定

$$ f(x)+f(-x)\ge 2f(0)

$$

は点ごとの不等式であるが，対称区間 $[-1,1]$ 上ではそのまま積分評価に変換できる。

（2） では

$$ f(x)=\frac{1}{x+2}

$$

という選び方が本質である。これは $x-2$ を代入するとちょうど $\dfrac{1}{x}$ になり，求めたい

$$ \int_1^e \frac{1}{x},dx

$$

と直結する。単なる計算ではなく，（1） の形にうまく合わせる関数を選ぶことがポイントである。

答え

**(1)**

$$ \int_1^3 f(x-2),dx\ge 2f(0)

$$

**(2)**

$$ e\le 3

$$