解説

方針・初手

不等式

$$ y{y-\log(x+1)+a}\leqq 0

$$

は、$x$ を固定すると $y$ が $0$ と $\log(x+1)-a$ の間にあることを表す。したがって、求める面積は縦の長さ

$$ |\log(x+1)-a|

$$

を $0\leqq x\leqq e-1$ で積分すればよい。

解法1

$x$ を固定し、

$$ c=\log(x+1)-a

$$

とおく。このとき

$$ y(y-c)\leqq 0

$$

より、$y$ は $0$ と $c$ の間にある。したがって、その縦の長さは $|c|$ であるから、

$$ S(a)=\int_0^{e-1}|\log(x+1)-a|,dx

$$

である。

ここで $t=x+1$ とおくと、$x=0$ のとき $t=1$、$x=e-1$ のとき $t=e$ であるから、

$$ S(a)=\int_1^e|\log t-a|,dt

$$

となる。

$a\geqq0$ であり、$1\leqq t\leqq e$ において $\log t$ は $0$ から $1$ まで動く。よって $a$ の値によって場合分けする。

**(i) $0\leqq a\leqq 1$ のとき**

$\log t=a$ となるのは $t=e^a$ である。したがって、

$$ S(a)=\int_1^{e^a}(a-\log t),dt+\int_{e^a}^{e}(\log t-a),dt

$$

である。

まず、

$$ \begin{aligned} \int_1^{e^a}(a-\log t),dt &= \left[at-t\log t+t\right]_1^{e^a} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_1^{e^a}(a-\log t),dt &= e^a-(a+1) \end{aligned} $$

となる。

また、

$$ \begin{aligned} \int_{e^a}^{e}(\log t-a),dt &= \left[t\log t-t-at\right]_{e^a}^{e} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_{e^a}^{e}(\log t-a),dt &= e^a-ae \end{aligned} $$

となる。

よって、

$$ S(a)=2e^a-(e+1)a-1

$$

である。

**(ii) $a\geqq 1$ のとき**

このとき $1\leqq t\leqq e$ では $\log t\leqq 1\leqq a$ であるから、

$$ |\log t-a|=a-\log t

$$

である。したがって、

$$ S(a)=\int_1^e(a-\log t),dt

$$

となる。

よって、

$$ S(a)=a(e-1)-\int_1^e\log t,dt

$$

である。

ここで

$$ \begin{aligned} \int_1^e\log t,dt &= \left[t\log t-t\right]_1^e \\ 1 \end{aligned} $$

より、

$$ S(a)=a(e-1)-1

$$

である。

以上より、

$$ S(a)= \begin{cases} 2e^a-(e+1)a-1 & (0\leqq a\leqq 1),\\ a(e-1)-1 & (a\geqq 1) \end{cases}

$$

である。

次に最小値を求める。

$0\leqq a\leqq 1$ において、

$$ S'(a)=2e^a-(e+1)

$$

である。したがって、

$$ S'(a)=0

$$

となるのは

$$ 2e^a=e+1

$$

すなわち

$$ a=\log\frac{e+1}{2}

$$

である。

ここで

$$ 1<\frac{e+1}{2}<e

$$

より、

$$ 0<\log\frac{e+1}{2}<1

$$

であるから、この値は $0\leqq a\leqq 1$ の範囲に含まれる。

また、

$$ S''(a)=2e^a>0

$$

であるから、$a=\log\dfrac{e+1}{2}$ で最小となる。

$a\geqq 1$ においては、

$$ S(a)=a(e-1)-1

$$

であり、$e-1>0$ だから単調増加である。したがって、全体の最小値も

$$ a=\log\frac{e+1}{2}

$$

でとる。

このとき、

$$ e^a=\frac{e+1}{2}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} S(a) &=2e^a-(e+1)a-1\\ &=(e+1)-(e+1)\log\frac{e+1}{2}-1\\ &=e-(e+1)\log\frac{e+1}{2} \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題の核心は、不等式

$$ y{y-\log(x+1)+a}\leqq 0

$$

を「$y$ が $0$ と $\log(x+1)-a$ の間にある」と読み替えることである。

その結果、面積は単に

$$ \int_0^{e-1}|\log(x+1)-a|,dx

$$

となる。あとは $\log(x+1)$ の値域が $0$ から $1$ までであることに注意して、$0\leqq a\leqq 1$ と $a\geqq1$ に分ければよい。

最小値は、絶対値付き積分の中で折れ曲がる点 $x=e^a-1$ が区間内にある場合、すなわち $0\leqq a\leqq1$ の範囲で調べるのが本筋である。

答え

**(1)**

$$ S(a)= \begin{cases} 2e^a-(e+1)a-1 & (0\leqq a\leqq 1),\\ a(e-1)-1 & (a\geqq 1) \end{cases}

$$

**(2)**

$$ a=\log\frac{e+1}{2}

$$

のとき、$S(a)$ は最小となり、その最小値は

$$ e-(e+1)\log\frac{e+1}{2}

$$

である。