解説

方針・初手

(1) は $\log x$ を $t$ のまわりで一次近似したときの誤差評価である。微分して単調性を見るか、積分表示に直して評価する。

(2) は (1) を区間 $[t,t+\frac1n]$ で積分すればそのまま得られる。

(3) は

$$ a_n=\sum_{k=0}^{n-1}\log\left(1+\frac{k}{n}\right)

$$

を、$\log x$ の区間 $[1,2]$ におけるリーマン和として扱う。ただし極限 $a_n-pn$ の定数項まで求める必要があるので、(2) の誤差評価を和にして使う。

解法1

まず (1) を示す。

$x\geqq t$ に対し

$$ F(x)=\log x-\log t-\frac{1}{t}(x-t)

$$

とおく。このとき

$$ F(t)=0

$$

であり、

$$ F'(x)=\frac1x-\frac1t=\frac{t-x}{tx}\leqq 0

$$

である。したがって $x\geqq t$ で $F(x)\leqq F(t)=0$ となり、

$$ \log x-\log t-\frac{1}{t}(x-t)\leqq 0

$$

が成り立つ。

次に下からの評価を示す。$x\geqq t$ に対し、テイラーの定理を用いると、ある $\xi$ が $t\leqq \xi\leqq x$ を満たして

$$ \log x=\log t+\frac1t(x-t)-\frac{1}{2\xi^2}(x-t)^2

$$

と表せる。よって

$$ \begin{aligned} \log x-\log t-\frac1t(x-t) &= -\frac{1}{2\xi^2}(x-t)^2 \end{aligned} $$

である。

ここで $t\geqq 1$ かつ $\xi\geqq t$ だから $\xi\geqq 1$ であり、

$$ \frac1{\xi^2}\leqq 1

$$

である。したがって

$$ -\frac{(x-t)^2}{2} \leqq -\frac{1}{2\xi^2}(x-t)^2

$$

となる。

以上より

$$ -\frac{(x-t)^2}{2} \leqq \log x-\log t-\frac1t(x-t) \leqq 0

$$

が示された。

次に (2) を示す。

(1) の不等式を $x$ について $t$ から $t+\frac1n$ まで積分する。すると

$$ -\int_t^{t+\frac1n}\frac{(x-t)^2}{2},dx \leqq \int_t^{t+\frac1n} \left\{ \log x-\log t-\frac1t(x-t) \right\},dx \leqq 0

$$

である。

中央の式を計算すると

$$ \int_t^{t+\frac1n}\log x,dx -\frac1n\log t -\frac1t\int_t^{t+\frac1n}(x-t),dx

$$

であり、

$$ \begin{aligned} \int_t^{t+\frac1n}(x-t),dx &= \frac{1}{2n^2} \end{aligned} $$

だから

$$ \begin{aligned} \int_t^{t+\frac1n} \left\{ \log x-\log t-\frac1t(x-t) \right\},dx &= \int_t^{t+\frac1n}\log x,dx -\frac1n\log t -\frac{1}{2tn^2} \end{aligned} $$

である。

また左辺は

$$ \begin{aligned} -\int_t^{t+\frac1n}\frac{(x-t)^2}{2},dx &= -\frac12\cdot \frac{1}{3n^3} \\ -\frac{1}{6n^3} \end{aligned} $$

である。よって

$$ -\frac{1}{6n^3} \leqq \int_t^{t+\frac1n}\log x,dx -\frac1n\log t -\frac{1}{2tn^2} \leqq 0

$$

が示された。

最後に (3) を解く。

(2) において

$$ t=1+\frac{k}{n}

$$

とおく。ただし $k=0,1,\dots,n-1$ である。このとき $t\geqq 1$ であり、(2) が使える。

したがって

$$ -\frac{1}{6n^3} \leqq \int_{1+\frac{k}{n}}^{1+\frac{k+1}{n}}\log x,dx -\frac1n\log\left(1+\frac{k}{n}\right) -\frac{1}{2n^2\left(1+\frac{k}{n}\right)} \leqq 0

$$

が成り立つ。これを $k=0,1,\dots,n-1$ について加えると

$$ -\frac{1}{6n^2} \leqq \int_1^2\log x,dx -\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\log\left(1+\frac{k}{n}\right) -\frac{1}{2n^2}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+\frac{k}{n}} \leqq 0

$$

となる。

ここで

$$ a_n=\sum_{k=0}^{n-1}\log\left(1+\frac{k}{n}\right)

$$

だから、

$$ -\frac{1}{6n^2} \leqq \int_1^2\log x,dx -\frac{a_n}{n} -\frac{1}{2n^2}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+\frac{k}{n}} \leqq 0

$$

である。

両辺に $n$ を掛けると

$$ -\frac{1}{6n} \leqq n\int_1^2\log x,dx -a_n -\frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+\frac{k}{n}} \leqq 0

$$

となる。したがって

$$ \begin{aligned} a_n &= n\int_1^2\log x,dx -\frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+\frac{k}{n}} +\varepsilon_n \end{aligned} $$

と書け、ただし $\varepsilon_n\to 0$ である。

ここで

$$ \begin{aligned} \int_1^2\log x,dx &= \left[x\log x-x\right]_1^2 \\ 2\log 2-1 \end{aligned} $$

である。

また

$$ \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}

$$

は関数 $\frac1x$ の区間 $[1,2]$ における左リーマン和であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty} \frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+\frac{k}{n}} &= \int_1^2\frac1x,dx \\ \log 2 \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} a_n &= n(2\log 2-1) -\frac12\log 2 +o(1) \end{aligned} $$

となる。よって

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to+\infty} \left\{ a_n-n(2\log 2-1) \right\} &= -\frac12\log 2 \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ p=2\log 2-1,\qquad q=-\frac12\log 2

$$

である。

解説

この問題の中心は、$\log x$ の一次近似誤差を積分し、リーマン和の定数項まで取り出す点にある。

通常のリーマン和だけを見ると

$$ \begin{aligned} \frac{a_n}{n} \to \int_0^1\log(1+x),dx &= 2\log 2-1 \end{aligned} $$

までは分かる。しかし、求めるのは $a_n-pn$ の極限であり、単なる一次の極限だけでは足りない。

そこで (2) の評価を各小区間

$$ \left[1+\frac{k}{n},1+\frac{k+1}{n}\right]

$$

に適用することで、リーマン和と積分との差の主要項

$$ -\frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}

$$

を取り出す。この項が最終的に $-\frac12\log 2$ に収束する。

答え

**(1)**

$$ -\frac{(x-t)^2}{2} \leqq \log x-\log t-\frac1t(x-t) \leqq 0

$$

が成り立つ。

**(2)**

$$ -\frac{1}{6n^3} \leqq \int_t^{t+\frac1n}\log x,dx -\frac1n\log t -\frac{1}{2tn^2} \leqq 0

$$

が成り立つ。

**(3)**

$$ p=2\log 2-1,\qquad q=-\frac12\log 2

$$