解説

方針・初手

$t=\tan \dfrac{x}{2}$ とおくと，半角の公式により $\cos x$ を $t$ の式で表せる。さらに $f(x)=\log \cos x$ を微分すると $f'(x)$ は三角関数で簡単に書けるので，それを半角置換で $t$ に直して定積分を計算する。

解法1

**(1)**

$t=\tan \dfrac{x}{2}$ であるから，

$$ \tan^2 \frac{x}{2}=t^2

$$

である。半角の公式

$$ \cos x=\frac{1-\tan^2 \dfrac{x}{2}}{1+\tan^2 \dfrac{x}{2}}

$$

を用いれば，

$$ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}

$$

となる。よって示された。

**(2)**

$$ f(x)=\log \cos x

$$

より，

$$ f'(x)=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x

$$

である。したがって，

$$ 1+{f'(x)}^2=1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}

$$

となる。

ここで $-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}$ なので $\cos x>0$ である。よって，

$$ \sqrt{1+{f'(x)}^2}=\frac{1}{\cos x}

$$

である。（1） より

$$ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}

$$

だから，

$$ \sqrt{1+{f'(x)}^2} =\frac{1+t^2}{1-t^2}

$$

となる。

**(3)**

$$ I=\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\sqrt{1+{f'(x)}^2},dx

$$

とおく。$t=\tan \dfrac{x}{2}$ とおくと，

$$ dx=\frac{2}{1+t^2},dt

$$

であり，積分区間は

$$ x=-\frac{\pi}{3}\Rightarrow t=\tan\left(-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{\sqrt{3}}, \qquad x=\frac{\pi}{3}\Rightarrow t=\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}

$$

となる。

したがって （2） を用いて，

$$ \begin{aligned} I &=\int_{-1/\sqrt{3}}^{,1/\sqrt{3}} \frac{1+t^2}{1-t^2}\cdot \frac{2}{1+t^2},dt \\ &=\int_{-1/\sqrt{3}}^{,1/\sqrt{3}} \frac{2}{1-t^2},dt \end{aligned}

$$

を得る。

ここで，

$$ \frac{2}{1-t^2} =\frac{1}{1+t}+\frac{1}{1-t}

$$

であるから，

$$ \int \frac{2}{1-t^2},dt =\log(1+t)-\log(1-t) =\log\frac{1+t}{1-t}

$$

である。よって，

$$ \begin{aligned} I &=\left[\log\frac{1+t}{1-t}\right]_{-1/\sqrt{3}}^{,1/\sqrt{3}} \\ &=\log\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}} -\log\frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}} \\ &=2\log\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}} \end{aligned}

$$

ここで，

$$ \frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}} =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} =2+\sqrt{3}

$$

であるから，

$$ I=2\log(2+\sqrt{3})

$$

となる。

解説

この問題の要点は，$\tan \dfrac{x}{2}$ を用いる半角置換である。これにより $\cos x$ が有理式

$$ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}

$$

で表され，さらに $dx=\dfrac{2}{1+t^2}dt$ となるので，定積分が有理関数の積分に帰着される。

また，$\sqrt{1+\tan^2 x}$ を単に $\dfrac{1}{|\cos x|}$ とせず，区間 $-\dfrac{\pi}{2}<x<\dfrac{\pi}{2}$ では $\cos x>0$ であることから $\dfrac{1}{\cos x}$ とできる点が重要である。

答え

**(1)**

$$ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}

$$

**(2)**

$$ \sqrt{1+{f'(x)}^2}=\frac{1+t^2}{1-t^2}

$$

**(3)**

$$ \int_{-\pi/3}^{\pi/3}\sqrt{1+{f'(x)}^2},dx =2\log(2+\sqrt{3})

$$