解説

方針・初手

$t=0,\pi$ のとき $y=0$ であり，$0<t<\pi$ では $\sin t>0$ なので $y>0$ である。したがって，曲線 $C$ は $x$ 軸の上側を通って 2 点 $(1+e^\pi,0)$，$(0,0)$ を結び，$x$ 軸とで 1 つの閉じた図形を作る。

媒介変数表示された曲線と $x$ 軸で囲まれる面積は，曲線が右端から左端へたどられていることに注意すると

$$ S=-\int_C y,dx

$$

で求められる。したがって $x'(t)$ を求めて積分すればよい。

解法1

まず端点を確認する。

$$ t=0のとき\ (x,y)=(e^0\cos0+e^\pi,\ e^0\sin0)=(1+e^\pi,0)

$$

$$ t=\piのとき\ (x,y)=(e^\pi\cos\pi+e^\pi,\ e^\pi\sin\pi)=(0,0)

$$

また，$0<t<\pi$ では

$$ y=e^t\sin t>0

$$

であるから，曲線 $C$ は $x$ 軸の上側にある。

次に

$$ x=e^t\cos t+e^\pi

$$

を微分すると，

$$ \frac{dx}{dt}=e^t(\cos t-\sin t)

$$

である。よって面積 $S$ は

$$ S=-\int_0^\pi y\frac{dx}{dt},dt =-\int_0^\pi e^t\sin t\cdot e^t(\cos t-\sin t),dt

$$

$$ =\int_0^\pi e^{2t}(\sin^2 t-\sin t\cos t),dt

$$

となる。

ここで

$$ \sin^2 t=\frac{1-\cos2t}{2},\qquad \sin t\cos t=\frac{\sin2t}{2}

$$

を用いると，

$$ S=\frac12\int_0^\pi e^{2t}(1-\cos2t-\sin2t),dt

$$

となる。

この被積分関数の原始関数は

$$ \frac14 e^{2t}(1-\sin2t)

$$

である。実際，

$$ \frac{d}{dt}\left(\frac14 e^{2t}(1-\sin2t)\right) =\frac12 e^{2t}(1-\sin2t-\cos2t)

$$

となり，確かに一致する。

したがって，

$$ S=\left[\frac14 e^{2t}(1-\sin2t)\right]_0^\pi =\frac14 e^{2\pi}(1-\sin2\pi)-\frac14(1-\sin0)

$$

$$ =\frac14(e^{2\pi}-1)

$$

を得る。

解説

この問題では，$0\le t\le\pi$ において $y=e^t\sin t\ge0$ となることから，曲線が $x$ 軸の上側にあり，両端で $x$ 軸に接していることをまず確認するのが重要である。

そのうえで，媒介変数表示の面積公式

$$ S=-\int y,dx

$$

を使えば，通常の「面積＝$\int y,dx$」をそのまま媒介変数に移した形で処理できる。曲線は $t=0$ から $t=\pi$ に進むにつれて右から左へ進むので，符号を 1 回きちんと確認することが要点である。

答え

$$ \frac{e^{2\pi}-1}{4}

$$