解説

方針・初手

曲線 $y=\cos^3 x$ は $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ で $x$ 軸・$y$ 軸とともに第1象限の図形を囲む。したがって面積 $S$ は定積分で求める。

また、長方形 $OPQR$ の面積は

$$ f(t)=t\cos^3 t

$$

である。最大値については $f'(t)$ の符号を調べ、最大点 $\alpha$ の条件を利用して $f(\alpha)$ を変形する。

解法1

まず、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_0^{\pi/2}\cos^3 x,dx

$$

である。

ここで

$$ \cos^3 x=\cos x(1-\sin^2 x)

$$

とおくと、$u=\sin x$ により

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^{\pi/2}\cos x(1-\sin^2 x),dx \\ &=\int_0^1(1-u^2),du \\ &=\left[u-\frac{u^3}{3}\right]_0^1 \\ &=\frac{2}{3} \end{aligned}

$$

となる。

次に、長方形 $OPQR$ の面積は、横の長さが $t$、縦の長さが $\cos^3 t$ であるから

$$ f(t)=t\cos^3 t

$$

である。

これを微分すると

$$ \begin{aligned} f'(t) &=\cos^3 t+t\cdot 3\cos^2t(-\sin t) \\ &=\cos^2t(\cos t-3t\sin t) \end{aligned}

$$

である。

$0<t<\dfrac{\pi}{2}$ では $\cos^2t>0$ であるから、$f'(t)$ の符号は

$$ g(t)=\cos t-3t\sin t

$$

の符号で決まる。

ここで

$$ g'(t)=-\sin t-3\sin t-3t\cos t=-4\sin t-3t\cos t

$$

であり、$0<t<\dfrac{\pi}{2}$ では

$$ g'(t)<0

$$

である。したがって、$g(t)$ はこの区間で単調減少する。

また、

$$ g(0)=1

$$

であり、

$$ g\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{3\pi}{2}<0

$$

である。よって、中間値の定理と単調性により、$g(t)=0$ を満たす $t$ はただ1つ存在する。

その値を $\alpha$ とすると、

$$ g(\alpha)=0

$$

より

$$ \cos\alpha=3\alpha\sin\alpha

$$

である。したがって

$$ \alpha=\frac{\cos\alpha}{3\sin\alpha}

$$

となる。

よって

$$ \begin{aligned} f(\alpha) &=\alpha\cos^3\alpha \\ &=\frac{\cos\alpha}{3\sin\alpha}\cos^3\alpha \\ &=\frac{\cos^4\alpha}{3\sin\alpha} \end{aligned}

$$

である。

また、$g(t)$ は単調減少であり、

$$ g\left(\frac{\pi}{6}\right) =\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{4}

$$

である。$\pi<2\sqrt3$ より

$$ \frac{\sqrt3}{2}-\frac{\pi}{4}>0

$$

だから、

$$ g\left(\frac{\pi}{6}\right)>0

$$

である。

一方、$g(\alpha)=0$ で、$g(t)$ は単調減少であるから

$$ \alpha>\frac{\pi}{6}

$$

である。したがって

$$ \sin\alpha>\frac{1}{2}

$$

となる。

このとき

$$ \cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha<1-\frac14=\frac34

$$

より

$$ \cos^4\alpha<\frac{9}{16}

$$

である。

したがって

$$ f(\alpha)=\frac{\cos^4\alpha}{3\sin\alpha} <\frac{\frac{9}{16}}{3\cdot\frac12} =\frac{3}{8}

$$

である。

さらに、すでに求めたように

$$ S=\frac{2}{3}

$$

だから、

$$ \frac{f(\alpha)}{S} <\frac{\frac38}{\frac23} =\frac{3}{8}\cdot\frac{3}{2} =\frac{9}{16}

$$

となる。

解説

この問題の中心は、長方形の面積を $f(t)=t\cos^3t$ と表して、微分により最大値を調べることである。

$f'(t)$ の符号は $\cos t-3t\sin t$ に帰着される。この関数が単調減少であることを示せば、最大値を与える $t$ がただ1つであることが分かる。

また、最大点 $\alpha$ では

$$ \cos\alpha=3\alpha\sin\alpha

$$

が成り立つ。この関係を用いて $f(\alpha)$ から $\alpha$ を消去するのが重要である。

最後の不等式では、$\alpha>\dfrac{\pi}{6}$ を示して $\sin\alpha>\dfrac12$ を得る。これにより、$f(\alpha)$ を直接評価できる。

答え

**(1)**

$$ S=\frac{2}{3}

$$

**(2)**

$f(t)$ は $0<t<\dfrac{\pi}{2}$ において、ただ1つの $t=\alpha$ で最大値をとる。また、そのとき

$$ f(\alpha)=\frac{\cos^4\alpha}{3\sin\alpha}

$$

である。

**(3)**

$$ \frac{f(\alpha)}{S}<\frac{9}{16}

$$