解説

方針・初手

$f(t),g(t)$ はそれぞれ $\cosh t,\sinh t$ であり、基本関係

$$ f'(t)=g(t),\quad g'(t)=f(t),\quad f(t)^2-g(t)^2=1

$$

を使う。

曲線 $C$ は $x=f(t), y=g(t)$ で表されるので、$t\geqq 0$ では $x$ は増加し、面積は

$$ \int y,dx

$$

の形で計算できる。

解法1

まず、$t\geqq 0$ において

$$ g(t)=\frac{e^t-e^{-t}}{2}\geqq 0

$$

であるから、$f'(t)=g(t)\geqq 0$ であり、$f(t)$ は増加関数である。

(1)

下側の不等式は

$$ f(t)-1=\frac{e^t+e^{-t}-2}{2} =\frac{(e^t-1)^2}{2e^t}\geqq 0

$$

より、

$$ 1\leqq f(t)

$$

である。

次に、上側の不等式を示す。関数

$$ H(t)=1+t^2-f(t)

$$

を考える。

このとき

$$ H(0)=0,\quad H'(t)=2t-g(t),\quad H''(t)=2-f(t)

$$

である。

$0\leqq t\leqq \log 2$ では、$f(t)$ が増加関数であることから

$$ f(t)\leqq f(\log 2) =\frac{2+\frac12}{2} =\frac54<2

$$

である。よって

$$ H''(t)=2-f(t)>0

$$

となる。

したがって $H'(t)$ は $0\leqq t\leqq \log 2$ で増加し、

$$ H'(0)=0

$$

だから

$$ H'(t)\geqq 0

$$

である。よって $H(t)$ も増加し、

$$ H(t)\geqq H(0)=0

$$

となる。

したがって

$$ 1+t^2-f(t)\geqq 0

$$

すなわち

$$ f(t)\leqq 1+t^2

$$

である。

以上より、$0\leqq t\leqq \log 2$ に対して

$$ 1\leqq f(t)\leqq 1+t^2

$$

が示された。

(2)

曲線 $C$ は $t=0$ のとき

$$ (x,y)=(f(0),g(0))=(1,0)

$$

を通る。また、$x=f(a)$ に対応する点は

$$ (x,y)=(f(a),g(a))

$$

である。

求める面積 $S(a)$ は、曲線 $C$、$x$ 軸、直線 $x=f(a)$ で囲まれる部分の面積なので、

$$ S(a)=\int_1^{f(a)} y,dx

$$

である。

媒介変数表示を用いると、$x=f(t)$ より

$$ dx=f'(t),dt=g(t),dt

$$

である。したがって

$$ S(a)=\int_0^a g(t)f'(t),dt =\int_0^a g(t)^2,dt

$$

となる。

ここで

$$ g(t)^2=\left(\frac{e^t-e^{-t}}{2}\right)^2 =\frac{e^{2t}-2+e^{-2t}}{4}

$$

だから、

$$ \begin{aligned} S(a) &=\int_0^a \frac{e^{2t}-2+e^{-2t}}{4},dt\\ &=\left[\frac{e^{2t}-e^{-2t}}{8}-\frac{t}{2}\right]_0^a\\ &=\frac{e^{2a}-e^{-2a}}{8}-\frac{a}{2} \end{aligned}

$$

である。

また、

$$ \begin{aligned} f(a)g(a) &= \frac{e^a+e^{-a}}{2}\cdot \frac{e^a-e^{-a}}{2} \\ \frac{e^{2a}-e^{-2a}}{4} \end{aligned} $$

であるから、

$$ S(a)=\frac{f(a)g(a)-a}{2}

$$

とも表せる。

(3)

$0<a\leqq \dfrac{\log 2}{2}$ とする。

$0\leqq t\leqq a$ ならば

$$ 0\leqq 2t\leqq 2a\leqq \log 2

$$

である。よって、(1)を $2t$ に対して用いると、

$$ f(2t)\leqq 1+(2t)^2

$$

である。

一方、

$$ f(2t)=f(t)^2+g(t)^2

$$

であり、さらに $f(t)^2-g(t)^2=1$ より

$$ f(2t)=1+2g(t)^2

$$

となる。

したがって

$$ 1+2g(t)^2\leqq 1+4t^2

$$

より、

$$ g(t)^2\leqq 2t^2

$$

である。

これを $S(a)=\displaystyle\int_0^a g(t)^2,dt$ に用いると、

$$ S(a)\leqq \int_0^a 2t^2,dt =\frac{2}{3}a^3

$$

となる。

よって、

$$ S(a)\leqq \frac{2}{3}a^3

$$

が示された。

解説

この問題の中心は、$f(t),g(t)$ を双曲線関数として扱うことである。特に

$$ f'(t)=g(t),\quad f(t)^2-g(t)^2=1,\quad f(2t)=1+2g(t)^2

$$

の3つが重要である。

(1)では $1+t^2-f(t)$ を直接調べることで、$f(t)$ の上からの評価を得る。(3)ではその評価を $2t$ に適用し、$g(t)^2$ を $2t^2$ で上から押さえるのが要点である。

面積計算では、媒介変数表示のまま

$$ S(a)=\int y,dx

$$

を使うと、$dx=f'(t),dt=g(t),dt$ となり、自然に

$$ S(a)=\int_0^a g(t)^2,dt

$$

へ変形できる。

答え

**(1)**

$$ 0\leqq t\leqq \log 2

$$

に対して、

$$ 1\leqq f(t)\leqq 1+t^2

$$

である。

**(2)**

$$ S(a)=\int_0^a g(t)^2,dt =\frac{e^{2a}-e^{-2a}}{8}-\frac{a}{2}

$$

すなわち

$$ S(a)=\frac{f(a)g(a)-a}{2}

$$

である。

**(3)**

$$ 0<a\leqq \frac{\log 2}{2}

$$

に対して、

$$ S(a)\leqq \frac{2}{3}a^3

$$

である。