解説

方針・初手

$f(x)$ は $\sin x$ だけで表せる形に直せる。そこで $t=\sin x$ とおき、$-1\leqq t\leqq 1$ の範囲で1変数関数の最大・最小を調べる。

面積については、まず $f(x)>0$ を確認し、区間 $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ における定積分として求める。

解法1

$\cos^2 x=1-\sin^2 x$ より、$t=\sin x$ とおくと

$$ \sin x-\cos^2 x=t-(1-t^2)=t^2+t-1

$$

である。したがって

$$ f(x)=(t^2+t-1)e^t+2e

$$

と表せる。ただし $-1\leqq t\leqq 1$ である。

ここで

$$ g(t)=(t^2+t-1)e^t+2e \qquad (-1\leqq t\leqq 1)

$$

とおく。微分すると

$$ \begin{aligned} g'(t) &=(2t+1)e^t+(t^2+t-1)e^t \\ &=(t^2+3t)e^t \\ &=t(t+3)e^t \end{aligned}

$$

である。

$-1\leqq t\leqq 1$ において $t+3>0,\ e^t>0$ なので、$g'(t)$ の符号は $t$ の符号と一致する。したがって、$g(t)$ は $-1<t<0$ で減少し、$0<t<1$ で増加する。

よって最小値は $t=0$ のときであり、

$$ g(0)=-1+2e=2e-1

$$

である。

最大値は端点 $t=-1,1$ を比較すればよい。

$$ g(-1)=(1-1-1)e^{-1}+2e=2e-\frac{1}{e}

$$

$$ g(1)=(1+1-1)e+2e=3e

$$

ここで

$$ 3e-\left(2e-\frac{1}{e}\right)=e+\frac{1}{e}>0

$$

より、最大値は $3e$ である。

次に面積を求める。上で求めた最小値が $2e-1>0$ であるから、$f(x)$ はすべての実数 $x$ で正である。したがって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_0^{\pi/2} f(x),dx

$$

である。

すなわち

$$ S=\int_0^{\pi/2}\left\{(\sin x-\cos^2 x)e^{\sin x}+2e\right\},dx

$$

である。ここで

$$ \frac{d}{dx}\left(-\cos x,e^{\sin x}\right) =\sin x,e^{\sin x}-\cos^2 x,e^{\sin x} =(\sin x-\cos^2 x)e^{\sin x}

$$

だから、

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^{\pi/2}(\sin x-\cos^2 x)e^{\sin x},dx+\int_0^{\pi/2}2e,dx \\ &=\left[-\cos x,e^{\sin x}\right]_0^{\pi/2}+2e\cdot\frac{\pi}{2} \\ &=\left(0-(-1)\right)+\pi e \\ &=1+\pi e \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題の中心は、$\sin x$ を新しい文字 $t$ に置き換えることである。$f(x)$ に含まれる $\cos^2 x$ は $1-\sin^2 x$ と直せるため、三角関数の問題ではなく、区間 $-1\leqq t\leqq 1$ における関数の最大・最小問題に帰着できる。

面積では、曲線が $x$ 軸より上にあることを確認する必要がある。この確認を省くと、単に定積分を計算してよい理由が不明確になる。今回は最小値が $2e-1>0$ であるため、区間 $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ でそのまま積分すればよい。

また、積分では

$$ (\sin x-\cos^2 x)e^{\sin x}

$$

が $-\cos x,e^{\sin x}$ の導関数になっていることを見抜くのが重要である。

答え

**(1)**

最大値は $3e$、最小値は $2e-1$ である。

**(2)**

求める面積は

$$ 1+\pi e

$$

である。