解説

方針・初手

$x>0$ の範囲で積分しているので、$\log(x^2)=2\log x$ とみてよい。

したがって、対数関数を微分すると簡単になることを利用し、部分積分を行う。

解法1

求める積分を

$$ I=\int_1^4 \sqrt{x}\log(x^2),dx

$$

とおく。

ここで

$$ u=\log(x^2),\quad dv=\sqrt{x},dx

$$

とすると、

$$ du=\frac{2}{x},dx,\quad v=\int x^{1/2},dx=\frac{2}{3}x^{3/2}

$$

である。

よって部分積分より、

$$ \begin{aligned} I &=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\log(x^2)\right]_1^4-\int_1^4 \frac{2}{3}x^{3/2}\cdot \frac{2}{x},dx \\ &=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\log(x^2)\right]_1^4-\frac{4}{3}\int_1^4 x^{1/2},dx \end{aligned}

$$

となる。

まず境界項は、

$$ \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\log(x^2)\right]_1^4 =\frac{2}{3}\cdot 4^{3/2}\log 16-\frac{2}{3}\cdot 1^{3/2}\log 1 =\frac{16}{3}\log 16

$$

である。

また、

$$ \frac{4}{3}\int_1^4 x^{1/2},dx =\frac{4}{3}\left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_1^4 =\frac{8}{9}(8-1) =\frac{56}{9}

$$

だから、

$$ I=\frac{16}{3}\log 16-\frac{56}{9}

$$

を得る。

さらに $\log 16=4\log 2$ より、

$$ I=\frac{64}{3}\log 2-\frac{56}{9} =\frac{192\log 2-56}{9} =\frac{8}{9}(24\log 2-7)

$$

である。

解説

この問題は $\sqrt{x}$ と対数の積であるから、対数を微分してべき関数を積分する部分積分が基本方針となる。

また、積分区間が $[1,4]$ で $x>0$ なので、$\log(x^2)=2\log x$ を安心して使える点も重要である。対数の中身に絶対値が必要になる場面との区別を意識したい。

答え

$$ \int_1^4 \sqrt{x}\log(x^2),dx =\frac{16}{3}\log 16-\frac{56}{9} =\frac{64}{3}\log 2-\frac{56}{9} =\frac{8}{9}(24\log 2-7)

$$