解説

方針・初手

(1)の中括弧の部分は、$1/(1+x)$ の有限等比級数による近似の余りである。まずこれを正確に整理すると、与えられた不等式は $1/(1+x)$ に関する基本不等式に帰着する。

(2)では、$a_n$ と $\log 2$ をともに積分で表す。すると(1)の不等式をそのまま積分して、はさみうちで極限を求められる。

解法1

まず、$0 \leqq x \leqq 1$ とする。

等比数列の和より、

$$ 1+\sum_{k=2}^{n}(-x)^{k-1} =\sum_{j=0}^{n-1}(-x)^j =\frac{1-(-x)^n}{1+x}

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{1+x}-1-\sum_{k=2}^{n}(-x)^{k-1} &= \frac{1}{1+x}-\frac{1-(-x)^n}{1+x} \\ \frac{(-x)^n}{1+x} \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} (-1)^n\left\{\frac{1}{x+1}-1-\sum_{k=2}^{n}(-x)^{k-1}\right\} &= \frac{x^n}{1+x} \end{aligned} $$

である。

したがって、示すべき不等式は

$$ \frac{1}{2}x^n \leqq \frac{x^n}{1+x} \leqq x^n-\frac{1}{2}x^{n+1}

$$

と同値である。

ここで、$0 \leqq x \leqq 1$ より $1 \leqq 1+x \leqq 2$ だから、

$$ \frac{1}{1+x} \geqq \frac{1}{2}

$$

である。両辺に $x^n \geqq 0$ をかけて、

$$ \frac{1}{2}x^n \leqq \frac{x^n}{1+x}

$$

を得る。

次に、右側の不等式を示す。$x^n \geqq 0$ なので、

$$ \frac{x^n}{1+x} \leqq x^n-\frac{1}{2}x^{n+1}

$$

は

$$ \frac{1}{1+x} \leqq 1-\frac{x}{2}

$$

を示せばよい。

実際、

$$ \begin{aligned} 1-\frac{x}{2}-\frac{1}{1+x} &= \frac{(1+x)\left(1-\frac{x}{2}\right)-1}{1+x} \\ \frac{\frac{x}{2}-\frac{x^2}{2}}{1+x} \\ \frac{x(1-x)}{2(1+x)} \end{aligned} $$

である。$0 \leqq x \leqq 1$ より $x(1-x) \geqq 0$ だから、

$$ 1-\frac{x}{2}-\frac{1}{1+x} \geqq 0

$$

となる。よって、

$$ \frac{1}{1+x} \leqq 1-\frac{x}{2}

$$

である。

以上より、

$$ \frac{1}{2}x^n \leqq (-1)^n\left\{\frac{1}{x+1}-1-\sum_{k=2}^{n}(-x)^{k-1}\right\} \leqq x^n-\frac{1}{2}x^{n+1}

$$

が示された。

次に(2)を考える。

まず、

$$ \begin{aligned} a_n &= \sum_{k=1}^{n}\frac{(-1)^{k-1}}{k} \\ \sum_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}\int_0^1 x^{k-1},dx \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_n &= \int_0^1 \sum_{k=1}^{n}(-x)^{k-1},dx \\ \int_0^1 \left\{1+\sum_{k=2}^{n}(-x)^{k-1}\right\},dx \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \log 2 &= \int_0^1 \frac{1}{1+x},dx \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \log 2-a_n &= \int_0^1 \left\{ \frac{1}{1+x} -1 -\sum_{k=2}^{n}(-x)^{k-1} \right\} ,dx \end{aligned} $$

となる。

両辺に $(-1)^n$ をかけると、

$$ \begin{aligned} (-1)^n(\log 2-a_n) &= \int_0^1 (-1)^n \left\{ \frac{1}{1+x} -1 -\sum_{k=2}^{n}(-x)^{k-1} \right\} ,dx \end{aligned} $$

である。

(1)より、被積分関数について

$$ \frac{1}{2}x^n \leqq (-1)^n \left\{ \frac{1}{1+x} -1 -\sum_{k=2}^{n}(-x)^{k-1} \right\} \leqq x^n-\frac{1}{2}x^{n+1}

$$

が成り立つ。これを $0$ から $1$ まで積分すると、

$$ \frac{1}{2}\int_0^1 x^n,dx \leqq (-1)^n(\log 2-a_n) \leqq \int_0^1 \left(x^n-\frac{1}{2}x^{n+1}\right),dx

$$

となる。

各積分を計算して、

$$ \frac{1}{2(n+1)} \leqq (-1)^n(\log 2-a_n) \leqq \frac{1}{n+1}-\frac{1}{2(n+2)}

$$

である。右辺を整理すると、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{n+1}-\frac{1}{2(n+2)} &= \frac{n+3}{2(n+1)(n+2)} \end{aligned} $$

だから、

$$ \frac{1}{2(n+1)} \leqq (-1)^n(\log 2-a_n) \leqq \frac{n+3}{2(n+1)(n+2)}

$$

となる。

ここで、全体に $n$ をかけると、

$$ \frac{n}{2(n+1)} \leqq (-1)^n n(\log 2-a_n) \leqq \frac{n(n+3)}{2(n+1)(n+2)}

$$

である。

両端はともに

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2(n+1)}=\frac{1}{2}

$$

かつ

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{n(n+3)}{2(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}

$$

であるから、はさみうちの原理より、

$$ \lim_{n\to\infty}(-1)^n n(\log 2-a_n)=\frac{1}{2}

$$

である。

求める極限は

$$ \begin{aligned} (-1)^n n(a_n-\log 2) &= -(-1)^n n(\log 2-a_n) \end{aligned} $$

だから、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}(-1)^n n(a_n-\log 2) &= -\frac{1}{2} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の核心は、交代調和級数

$$ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots

$$

を $\log 2$ に近づく有限和として扱うことである。

(1)の式は一見複雑だが、実際には

$$ \frac{1}{1+x}-\sum_{j=0}^{n-1}(-x)^j

$$

という等比級数の余りである。これを

$$ \frac{(-x)^n}{1+x}

$$

と変形できれば、あとは $1/(1+x)$ を上下から評価するだけになる。

(2)では、$1/k=\int_0^1 x^{k-1},dx$ を使って $a_n$ を積分に直す。さらに $\log 2=\int_0^1 1/(1+x),dx$ と比較することで、(1)の不等式を直接利用できる。

符号に注意が必要である。(1)から自然に評価できるのは $(-1)^n(\log 2-a_n)$ であり、問題で求めるのは $(-1)^n(a_n-\log 2)$ なので、最後に符号が反転する。

答え

**(1)**

与えられた不等式は成り立つ。

**(2)**

$$ \boxed{-\frac{1}{2}}

$$